Question

20．定义：底与腰的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．
如图，已知△ABC中，AC=BC，∠C=36°，BA₁平分∠ABC交AC于A₁．
（1）证明：AB²=AA₁•AC；
（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）
（3）应用：已知AC=a，作A₁B₁∥AB交BC于B₁，B₁A₂平分∠A₁B₁C交AC于A₂，作A₂B₂∥AB交B₂，B₂A₃平分∠A₂B₂C交AC于A₃，作A₃B₃∥AB交BC于B₃，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A_n-1A_n．（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质结合相似三角形的判定与性质得出△ABC∽△AA₁B，进而得出$\frac{AB}{A{A}_{1}}$=$\frac{AC}{AB}$，求出即可；
（2）利用AC=1，利用AB²=1-AB，求出AB的值，进而得出$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，得出答案即可；
（3）利用（2）中所求进而得出AA₁，A₁A₂的长，进而得出其长度变化规律求出即可．

解答 （1）证明：∵AC=BC，∠C=36°，
∴∠A=∠ABC=72°，
∵BA₁平分∠ABC，
∴∠ABA₁=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°，
∴∠C=∠ABA₁，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AA₁B，
∴$\frac{AB}{A{A}_{1}}$=$\frac{AC}{AB}$，即AB²=AA₁•AC；

（2）解：△ABC是黄金等腰三角形，
理由：由（1）知，AB²=AC•AA₁，
设AC=1，
∴AB²=AA₁，
又由（1）可得：AB=A₁B，
∵∠A₁BC=∠C=36°，
∴A₁B=A₁C，
∴AB=A₁C，
∴AA₁=AC-A₁C=AC-AB=1-AB，
∴AB²=1-AB，
设AB=x，即x²=1-x，
∴x²+x-1=0，
解得：x₁=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（不合题意舍去），
∴AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又∵AC=1，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴△ABC是黄金等腰三角形；

（3）解：由（2）得；当AC=a，则AA₁=AC-A₁C=AC-AB=a-AB=a-$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$a=$（\frac{\sqrt{5}-1}{2}）^{2}$a，
同理可得：A₁A₂=A₁C-A₁B₁=AC-AA₁-A₁B₁
=a-$（\frac{\sqrt{5}-1}{2}）^{2}$a-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$A₁C
=a-$（\frac{\sqrt{5}-1}{2}）^{2}$a-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$[a-$（\frac{\sqrt{5}-1}{2}）^{2}$a]
=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）³a．
故A_n-1A_n=$（\frac{\sqrt{5}-1}{2}）^{n+1}$a．

点评 此题主要考查了相似形综合以及等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，得出AA₁，A₁A₂的长是解题关键．