[题目]如图1.已知正方形ABCD.E是线段BC上一点.N是线段BC延长线上一点.以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG．(1)连接GD.求证,(2)连接FC.求的值,(3)如图2.将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD...E是线段BC上一动点(不含端点B.C).以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG.使顶点G恰好落在射线CD上．当点E由B向C运动时.判断� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图1，已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG．

（1）连接GD，求证；

（2）连接FC，求的值；

（3）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，，，E是线段BC上一动点（不含端点B，C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．当点E由B向C运动时，判断的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

图1 图2

【答案】（1）见解析；（2）；（3）是定值，．

【解析】

（1）证明，问题得证；

（2）过F作，垂足为M，证明，得到，求出；

（3）过F作，垂足为M，证明，，设，得到，求得，问题得解．

（1）∵正方形ABCD和正方形AEFG中

∴，，．

∴

（2）过F作，垂足为M，则有，

∴

即

又

∴

∴，

又，

∴

在中，∴

（3）过F作，垂足为M，则有，

∴

即

同理可证：

又

∴，

设，则，

∴，

，即

∴

即的值为定值

练习册系列答案

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（问题探究）：我们先考虑以下简单的情况：一条直线穿越一个正方形的情况．（如图2）

从图中我们可以看出，当一条直线穿过一个小正方形时，这条直线最多与正方形上、下、左、右四条边中的两个边相交，所以当一条直线穿过一个小正方形时，这条直线会与其中某两条边产生两个交点，并且以两个交点为顶点的线段会全部落在小正方形内．

这就启发我们：为了求出直线最多穿过多少个小正方形，我们可以转而去考虑当直线穿越由小正方形拼成的大正方形时最多会产生多少个交点.然后由交点数去确定有多少根小线段，进而通过线段的根数确定下正方形的个数．

再让我们来考虑正方形的情况（如图3）：

为了让直线穿越更多的小正方形，我们不妨假设直线右上方至左下方穿过一个的正方形，我们从两个方向来分析直线穿过正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行的两条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的四条线段；这样直线最多可穿过的大正方形中的六条线段，从而直线上会产生6个交点，这6个交点之间的5条线段，每条会落在一个不同的正方形内，因此直线最多能经过5个小正方形．

（问题解决）：

（1）有同样大小的小正方形16个，拼成如图4所示的的一个大的正方形．如果用一条直线穿过这个大正方形的话，最多可以穿过_________个小正方形．

（2）有同样大小的小正方形256个，拼成的一个大的正方形.如果用一条直线穿过这个大正方形的话，最多可以穿过___________个小正方形．

（3）如果用一条直线穿过的大正方形的话，最多可以穿过___________个小正方形．

（问题拓展）：

（4）如果用一条直线穿过的大长方形的话（如图5），最多可以穿过个___________小正方形．

（5）如果用一条直线穿过的大长方形的话（如图6），最多可以穿过___________个小正方形．

（6）如果用一条直线穿过的大长方形的话，最多可以穿过________个小正方形．

（类比探究）：

由二维的平面我们可以联想到三维的立体空间，平面中的正方形中四条边可联想到正方体中的正方形的六个面，类比上面问题解决的方法解决如下问题：

（7）如图7有同样大小的小正方体8个，拼成如图所示的的一个大的正方体.如果用一条直线穿过这个大正方体的话，最多可以穿过___________个小正方体．

（8）如果用一条直线穿过的大正方体的话，最多可以穿过_________个小正方体．

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