Question

2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx-3k（k＞0）分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线y=x²+（k-3）x-3k经过A、B两点，点P在抛物线上，且在直线y=kx-3k（k＞0）的下方，其横坐标为2k，连结PA、PB，设△PAB的面积为S．
（1）求点P的坐标（用含k的代数式表示）．
（2）求S与k之间的函数关系式．
（3）求S等于2时k的值．
（4）求S取得最大值时此抛物线所对应的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）把点P的横坐标2k代入抛物线y=x²+（k-3）x-3k，可求P的坐标（用含k的代数式表示）．
（2）过P点作PQ∥y轴交AB于点Q，过B点作BN⊥PQ于点N，过A点作AM⊥PQ于点M，可得P（2k，6k²-9k），Q（2k，2k²-3k），根据两点间的距离公式可得PQ，再根据S_△PAB=S_△PQB+S_△PQA，可求S与k之间的函数关系式．
（3）根据S等于2，可得关于k的方程，解方程可求k的值．
（4）根据配方法可求S取得最大值时k的值，进一步得到抛物线所对应的函数表达式．

解答 解：（1）∵点P在抛物线y=x²+（k-3）x-3k上，且其横坐标为2k，
∴y=4k²+（k-3）×2k-3k=6k²-9k，
∴点P的坐标（2k，6k²-9k）；
（2）如图，过P点作PQ∥y轴交AB于点Q，过B点作BN⊥PQ于点N，过A点作AM⊥PQ于点M，
则P（2k，6k²-9k），Q（2k，2k²-3k），
则PQ=-4k²+6k），
S_△PAB=S_△PQB+S_△PQA
=$\frac{1}{2}$PQ•BN+$\frac{1}{2}$PQ•AM
=$\frac{1}{2}$PQ（BN+AM）
=$\frac{3}{2}$PQ
=-6k²+9k；
（3）依题意有
-6k²+9k=2，
解得k₁=$\frac{9-\sqrt{33}}{12}$，k₂=$\frac{9+\sqrt{33}}{12}$；
（4）S_△PAB=-6k²+9k=-6（k-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{27}{8}$，
当k=$\frac{3}{4}$时，△PAB面积最大值是$\frac{27}{8}$，y=x²-$\frac{9}{4}$x-$\frac{9}{4}$．

点评 考查了二次函数综合题，解题的关键是熟练掌握两点间的距离公式，三角形面积，二次函数最值的知识点，同时涉及方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．