(1)分解下列因式.将结果直接写在横线上:x2-2x+1=(x-1)2.25x2+30x+9=2.9x2+12x+4=2．(2)观察上述三个多项式的系数.有(-2)2=4×1×1.302=4×25×9.122=4×9×4.于是小明猜测:若多项式ax2+bx+c是完全平方式.那么实系数a.b.c之间一定存在某种关系．①请你用数学式子表示系数a.b.c之间的关系b2=4ac� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x²-2x+1=（x-1）²，25x²+30x+9=（5x+3）²，9x²+12x+4=（3x+2）²．
（2）观察上述三个多项式的系数，
有（-2）²=4×1×1，30²=4×25×9，12²=4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax²+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么实系数a、b、c之间一定存在某种关系．
①请你用数学式子表示系数a、b、c之间的关系b²=4ac．
②解决问题：在实数范围内，若关于x的多项式mx²+8x+n是完全平方式，且m，n都是正整数，m≥n，求系数m与n的值．
（3）在实数范围内，若关于x的多项式x²+mx+2n和x²+nx+2m都是完全平方式，利用（2）中的规律求mn的值．

分析（1）根据完全平方公式分解即可；
（2）①根据已知等式得出b²=4ac，即可得出答案；
②求出64=4mn，求出方程的特殊解即可；
（3）根据规律得出m²=8n且n²=8m，组成一个方程，求出mn即可．

解答解：（1）x²-2x+1=（x-1）²，25x²+30x+9=（5x+3）²，9x²+12x+4=（3x+2）²，
故答案为：（x-1）²，（5x+3）²，（3x+2）²；

（2）①b²=4ac，
故答案为：b²=4ac；

②∵关于x的多项式mx²+8x+n是完全平方式，且m，n都是正整数，m≥n，
∴8²=4mn，
∴只有三种情况：m=16，n=1或m=4，n=4或m=8，n=2；

（3）∵关于x的多项式x²+mx+2n和x²+nx+2m都是完全平方式，
∴m²=4×2n=8n且n²=4×2m=8m，
∴m²n²=64mn，
∴m²n²-64mn=0，
∴mn（mn-64）=0，
∴mn=0（舍去）或mn=64．

点评本题考查了对完全平方公式的理解和应用，能根据完全平方公式得出b²=4ac是解此题的关键．

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