【题目】如图,在中,,,,射线从与射线重合的位置开始,绕点按顺时针方向旋转,与射线重合时就停止旋转,射线与线段相交于点,点是线段的中点.
(1)求线段的长;
(2)①当点与点、点不重合时,过点作于点,于点,连接,,在射线旋转的过程中,的大小是否发生变化?若不变,求的度数;若变化,请说明理由.
②在①的条件下,连接,直接写出面积的最小值____________.
【答案】(1);(2)不变,∠EMF=90°,理由见解析;(3)
【解析】
(1)如下图,设AN=x,在Rt△CAN中,利用勾股定理可求得x的值,然后再Rt△CNB中,可求得CB的长;
(2)①如下图,△DEB和△DFB是直角三角形,点M是BD的中点,可得到EM=DM=MB=FM,利用角度转化可得到∠FME=90°;
②可推导出,则只需要BD最小即可,即BD⊥AC时,△EMF的面积最小.
(1)如下图,过点C作AB的垂线,交AB于点N
∵
∴设AN=x,则CN=3x
∵
∴在Rt△CAN中,
解得:x=1
∴CN=3,AB=AN+NB=4
∵∠ABC=45°
∴NB=CN=3
∴在Rt△CNB中,CB=3;
(2)①不变,∠EMF=90°
如下图
∵DE⊥AB,DF⊥BC
∴△DEB和△DFB是直角三角形
∵点M是DB的中点
∴EM=DM=MB,FM=DM=MB
∴∠2=∠3,∠1=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8
∵∠ABC=45°
∴∠1+∠2=45°,∴∠3+∠4=45°
∵∠DEB=∠DFB=90°
∴∠5+∠8=180°-45°=135°
∴∠5+∠6+∠7+∠8=270°
∴在四边形EMFD中,∠EMF=360°-270°=90°;
②如下图
∵∠EFM=0°,EM=FM=DM=MB
∴
要使最小,则只需要BD最小即可
故BD⊥AC,图形如下
∵
∴设AD=y,则DB=3y
∵AB=4
∴在Rt△ADB中,
解得:y=
∴BD=3y=
∴=.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1.且过点,有下列结论:
①abc0; ②a﹣2b+4c=0; ③25a﹣10b+4c=0; ④3b+2c0; ⑤a﹣b≥m(am﹣b);
其中所有正确的结论是______.(填写正确结论的序号)
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点为A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接CP、DP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.
(1)求该抛物线的函数关系表达式;
(2)当CP+DP的值最小时,求E点的坐标;
(3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB,是否存在点M使得△MNB为直角三角形;若存在,求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论:①∠AED=∠CED;②OE=OD;③BH=HF;④BC﹣CF=2HE;⑤AB=HF,其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】在一个不透明的盒子中放有三张卡片,每张卡片上写有1个实数,分别为1,2,3.(卡片除了实数不同外,其余均相同)
(1)从盒子中随机抽取一张卡片,请直接写出卡片上的实数是2的概率_______;
(2)先从盒子中随机抽取一张卡片,将卡片上的实数作为点P的横坐标,卡片不放回,再随机抽取一张卡片,将卡片上的实数作为点P的纵坐标,两次抽取的卡片上的实数分别作为点P的横纵坐标.请你用列表法或树状图法,求出点P在反比例函数上的概率.
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【题目】如图①,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=8.点D,E分别是边AC,BC上的动点,连接DE.设CD=x(x>0),BE=y,y与x之间的函数关系如图②所示.
(1)求出图②中线段PQ所在直线的函数表达式;
(2)将△DCE沿DE翻折,得△DME.
①点M是否可以落在△ABC的某条角平分线上?如果可以,求出相应x的值;如果不可以,说明理由;
②直接写出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值及相应x的值.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A,B两点(A点在B点左侧),A(﹣1,0),B(3,0),直线l与抛物线交于A,C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A,C,F,G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图所示,M、N、P在第二象限,横坐标分别是﹣4、﹣2、﹣1,双曲线y=过M、N、P三点,且MN=NP.
(1)求双曲线的解析式;
(2)过P点的直线l交x轴于A,交y轴于B,且PA=4AB,且交y=于另一点Q,求Q点坐标;
(3)以PN为边(顺时针方向)作正方形PNEF,平移正方形使N落在x轴上,点P、E对应的点P′、E'正好落在反比例函数y=上,求F对应点F′的坐标.
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