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【题目】如图,在中,,射线从与射线重合的位置开始,绕点按顺时针方向旋转,与射线重合时就停止旋转,射线与线段相交于点,点是线段的中点.

1)求线段的长;

2)①当点与点、点不重合时,过点于点于点,连接,在射线旋转的过程中,的大小是否发生变化?若不变,求的度数;若变化,请说明理由.

②在①的条件下,连接,直接写出面积的最小值____________

【答案】1;(2)不变,EMF=90°,理由见解析;(3

【解析】

1)如下图,设AN=x,在RtCAN中,利用勾股定理可求得x的值,然后再Rt△CNB中,可求得CB的长;

2如下图,△DEB和△DFB是直角三角形,点MBD的中点,可得到EM=DM=MB=FM,利用角度转化可得到∠FME=90°

可推导出,则只需要BD最小即可,即BD⊥AC时,△EMF的面积最小.

1)如下图,过点CAB的垂线,交AB于点N

∴设AN=x,则CN=3x

∴在RtCAN中,

解得:x=1

CN=3AB=AN+NB=4

∵∠ABC=45°

NB=CN=3

∴在Rt△CNB中,CB=3

2不变,EMF=90°

如下图

DEABDF⊥BC

∴△DEB和△DFB是直角三角形

∵点MDB的中点

EM=DM=MBFM=DM=MB

∴∠2=∠3,∠1=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8

∵∠ABC=45°

∴∠1+∠2=45°,∴∠3+∠4=45°

∵∠DEB=∠DFB=90°

∴∠5+8=180°45°=135°

∴∠5+∠6+∠7+∠8=270°

∴在四边形EMFD中,∠EMF=360°270°=90°

如下图

∵∠EFM=0°EM=FM=DM=MB

要使最小,则只需要BD最小即可

BD⊥AC,图形如下

∴设AD=y,则DB=3y

AB=4

∴在RtADB中,

解得:y=

BD=3y=

=

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A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

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2)先从盒子中随机抽取一张卡片,将卡片上的实数作为点P的横坐标,卡片不放回,再随机抽取一张卡片,将卡片上的实数作为点P的纵坐标,两次抽取的卡片上的实数分别作为点P的横纵坐标.请你用列表法或树状图法,求出点P在反比例函数上的概率.

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1)求出图中线段PQ所在直线的函数表达式;

2)将△DCE沿DE翻折,得△DME

M是否可以落在△ABC的某条角平分线上?如果可以,求出相应x的值;如果不可以,说明理由;

直接写出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值及相应x的值.

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1)求双曲线的解析式;

2)过P点的直线lx轴于A,交y轴于B,且PA4AB,且交y于另一点Q,求Q点坐标;

3)以PN为边(顺时针方向)作正方形PNEF,平移正方形使N落在x轴上,点PE对应的点P′、E'正好落在反比例函数y上,求F对应点F′的坐标.

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