Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），A（﹣1，0），B（3，0），直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A，C，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）；（3）F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（，0），F4（，0）．

【解析】

（1）利用待定系数法，直接求出抛物线的解析式即可；

（2）根据点C在抛物线上，求出点C的坐标；根据待定系数法求出直线AC的解析式；设点P的横坐标为x（1≤x≤2），则P、E的坐标分别为P（x，x1），E（x，x22x3），用含x的式子表示出PE的长度，求出PE的最大值；

（3）根据点G的不同位置，分为4种情况讨论，点G在第二象限的抛物线上，点G在抛物线与y轴的交点上（两种情况），点G在直线AC上方y轴右侧，根据平行四边形的对边平行且相等，求得点F的坐标即可．

（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），

∴，解得：，∴抛物线的函数解析式为：y=x2﹣2x﹣3；

（2）∵点C在抛物线上，且点C的横坐标为2，

∴y=4﹣4﹣3=﹣3，

∴点C的坐标为（2，﹣3），

设直线AC的解析式为：y=kx+b，

∴，解得：，

∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，设点P的横坐标为x（﹣1≤x≤2），

则P、E的坐标分别为P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）．

∵点P在点E的上方，

∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=．

∵﹣1＜0，开口向下，﹣1≤x≤2，

∴当x=时，PE最大=；

（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0）．

∵A，C，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形

①如图1，四边形AFGC是平行四边形，此时CG∥AF，

∴AF=CG=2，

∴点F的坐标为（﹣3，0）；

②如图2，四边形AGCF是平行四边形，此时CG∥FA，

∴AF=CG=2．

∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴点F的坐标为（1，0）；

③如图3，四边形ACFG时平行四边形，此时AC∥GF，

此时点C，G两点的纵坐标互为相反数，

故点G的纵坐标为3，且点G在抛物线上，

∴x2﹣2x﹣3=3，

解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），

∴点G的坐标为（1+，3）．

∵GF∥AC，

∴设直线GF的解析式为：y=﹣x+h，

∴﹣（1+）+h=3，

解得：h=4+，

∴直线GH的解析式为：y=﹣x+4+，

∴直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）；

④如图4，同③可求得点F的坐标为（4﹣，0）．

综上所述：存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0）．