Question

【题目】如图所示,在矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过点O的直线EF与AB,CD的延长线分别交于点E,F.

(1)求证:△BOE≌△DOF;

(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形?并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AC和BD交于点O

∴AB∥CD; OB=OD

∴∠OEB=∠OFD

∵∠BOE=∠DOF

∴△BOE≌△DOF

(2)解：当EF与AC垂直的时候四边形AECF是菱形。

证明如下：

∵△BOE≌△DOF

∴ BE="DF"

∵ AB=CD

∴AE=CF且AE∥CF

又∵EF⊥AC

∴ 四边形AECF是菱形

【解析】

（1）由矩形的性质：OB=OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF；

（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．根据已知条件可证明四边形AECF是平行四边形，当EF⊥AC，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定．