Question

【题目】阅读下列材料，并解答后面的问题．

在学习了直角三角形的边角关系后，小颖和小明两个学习小组继续探究任意锐角三角形的边角关系：在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．

（1）小明学习小组发现如下结论：

如图1，过A作AD⊥BC于D，则sinB=，sinC=即AD=csinB，AD=bsinC，于是_____=______即，同理有，

则有

（2）小颖学习小组则利用圆的有关性质也得到了类似的结论：

如图2，△ABC的外接圆半径为R，连结CO并延长交⊙O于点D，连结DB，则∠D=∠A，

∵CD为⊙O的直径，∴∠DBC=90°，

在Rt△DBC中，

∵，

∴，

同理：，

则有

请你将这一结论用文字语言描述出来: ．

小颖学习小组在证明过程中略去了“”的证明过程，请你把“”的证明过程补写出来．

（3）直接用前面阅读材料中得出的结论解决问题

规划局为了方便居民，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一座学校，使它到三个住宅小区的距离相等，已知小区C在小区B的正东方向千米处，小区A在小区B的东北方向，且A与C之间相距千米，求学校到三个小区的距离及小区A在小区C的什么方向？

Answer 1

【答案】（1）csinB，bsinC；（2）在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径；（3）学校到三个小区的距离为1千米，小区A在小区C的北偏西15°的方向．

【解析】

（1）由AD=csinB，AD=bsinC可得答案；

（2）由结论可总结为：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，据此解答即可；

（3）根据题意画出图形如图，则∠B=45°，BC=千米，AC=千米，设学校的位置为点O，则OA=OB=OC=R，由阅读材料的结论可得：，由此即可求出∠BAC的度数和R的值，进而可求出∠ACB的度数，即得∠ACN的度数，问题即得解决．

解：（1）由AD=csinB，AD=bsinC得：csinB=bsinC；

故答案为：csinB，bsinC；

（2）由这一结论用文字语言描述出来是：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径．

故答案为：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径；

（3）如图，由题意得：∠B=45°，BC=千米，AC=千米，设学校的位置为点O，则OA=OB=OC=R，

由阅读材料的结论可得：，

即，

解得：，千米，

∴∠BAC=60°，

∴∠ACB=180°－45°－60°=75°，

∴∠ACN=15°，即小区A在小区C的北偏西15°的方向．

答：学校到三个小区的距离为1千米，小区A在小区C的北偏西15°的方向．