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【题目】如图,抛物线yx2+bx+cx轴的交点为A(﹣10),B30),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点Px轴上一动点,连接CPDP,过点PCP的垂线与y轴交于点E

1)求该抛物线的函数关系表达式;

2)当CP+DP的值最小时,求E点的坐标;

3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MNMB,是否存在点M使得MNB为直角三角形;若存在,求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1)抛物线函数关系表达式为yx22x3;(2)点E02);(3)点M的坐标为 或(1,﹣4).

【解析】

1)把AB两点坐标代入抛物线表达式,即可求解;

2)如图,过点C作关于x轴的对称点H3,﹣4),连接HDx轴于点P,交y轴于点ECP+DPPH+PDDH为最小,即可求解;

3)分∠BNM为直角、∠NMB为直角两种情况,分别求解即可.

1)∵抛物线yx2+bx+c经过A(﹣10),B30),

AB两点坐标代入上式,,解得

故抛物线函数关系表达式为yx22x3

2)如图,过点C作关于x轴的对称点H3,﹣4),连接HDx轴于点P,交y轴于点E

CP+DPPH+PDDH为最小,

设直线DH的表达式为:ykx+t,则,解得

故直线DH的表达式为:y=﹣2x+2

x0,则y2

故点E02);

3)从图上可以看出,∠NBM≠90°

①当∠BNM为直角时,

OBOC

∴∠ONB45°

NMy轴负半轴的夹角为45°

而点N0,﹣3),设抛物线的顶点为K,则其坐标为(1,﹣4),

NK的坐标看,NKy轴负半轴的夹角为45°

故点K与点M重合,故点M1,﹣4);

②当∠NMB为直角时,

∵∠NOB90°

OBMN四点共圆,

设该圆的圆心为RRNB的中点,故R的坐标为(,﹣),

设圆的半径为r,则rNB

设点Mxy),yx22x3

RMr,即(x2+y+2=(2

整理得:(x3+yx2)=0

即(x3[1+1+x)(x2]0

解得:x(舍去)或3(舍去),

故点M的坐标为(,﹣);

综上,点M的坐标为(,﹣)或(1,﹣4).

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