【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点为A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接CP、DP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.
(1)求该抛物线的函数关系表达式;
(2)当CP+DP的值最小时,求E点的坐标;
(3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB,是否存在点M使得△MNB为直角三角形;若存在,求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线函数关系表达式为y=x2﹣2x﹣3;(2)点E(0,2);(3)点M的坐标为 或(1,﹣4).
【解析】
(1)把A、B两点坐标代入抛物线表达式,即可求解;
(2)如图,过点C作关于x轴的对称点H(3,﹣4),连接HD交x轴于点P,交y轴于点E,CP+DP=PH+PD=DH为最小,即可求解;
(3)分∠BNM为直角、∠NMB为直角两种情况,分别求解即可.
(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0),
把A、B两点坐标代入上式,,解得,
故抛物线函数关系表达式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)如图,过点C作关于x轴的对称点H(3,﹣4),连接HD交x轴于点P,交y轴于点E,
则CP+DP=PH+PD=DH为最小,
设直线DH的表达式为:y=kx+t,则,解得,
故直线DH的表达式为:y=﹣2x+2,
令x=0,则y=2,
故点E(0,2);
(3)从图上可以看出,∠NBM≠90°;
①当∠BNM为直角时,
∵OB=OC,
∴∠ONB=45°,
则NM与y轴负半轴的夹角为45°,
而点N(0,﹣3),设抛物线的顶点为K,则其坐标为(1,﹣4),
从N、K的坐标看,NK与y轴负半轴的夹角为45°,
故点K与点M重合,故点M(1,﹣4);
②当∠NMB为直角时,
∵∠NOB=90°,
∴O、B、M、N四点共圆,
设该圆的圆心为R,R是NB的中点,故R的坐标为(,﹣),
设圆的半径为r,则r=NB=;
设点M(x,y),y=x2﹣2x﹣3,
则RM=r,即(x﹣)2+(y+)2=()2,
整理得:(x﹣3)+y(x﹣2)=0,
即(x﹣3)[1+(1+x)(x﹣2)]=0,
解得:x=或(舍去)或3(舍去),
故点M的坐标为(,﹣);
综上,点M的坐标为(,﹣)或(1,﹣4).
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【题目】定义:有一个内角为90°,且对角线相等的四边形称为准矩形.
(1)①如图1,准矩形ABCD中,∠ABC=90°,若AB=2,BC=3,则BD= ;
②如图2,直角坐标系中,A(0,3),B(5,0),若整点P使得四边形AOBP是准矩形,则点P的坐标是 ;(整点指横坐标、纵坐标都为整数的点)
(2)如图3,正方形ABCD中,点E、F分别是边AD、AB上的点,且CF⊥BE,求证:四边形BCEF是准矩形;
(3)已知,准矩形ABCD中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,AB=2,当△ADC为等腰三角形时,请直接写出这个准矩形的面积是 .
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【题目】2019年8月.山西龙城将迎来全国第二届青年运动会,盛会将至,整个城市已经进入了全力准备的状态.太职学院足球场作为一个重要比赛场馆.占地面积约24300平方米.总建筑面积4790平方米,设有2476个座位,整体建筑简洁大方,独具特色.2018年3月15日该场馆如期开工,某施工队负责安装该场馆所有座位,在安装完476个座位后,采用新技术,效率比原来提升了.结来比原计划提前4天完成安装任务.求原计划每天安装多少个座位.
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【题目】如图,为测量某条河的宽度BC,工程队用无人机在距地面高度为200米的A处测得B,C两点的俯角分别为30°和45°,且点B,C,D在同一水平直线上,求A,C之间的距离和这条河的宽度BC.(结果保留根号)
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【题目】为缓解交通压力,建设美丽遵义,市政府加快了风新快线的建设.如图,A、B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC=8千米,∠A=45°,∠B=30°.
(1)开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走多少千米?
(2)开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走多少千米?(结果精确到0.1千米)(参考数据:≈1.414,≈1.732)
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【题目】如图1、图2是某种品牌的篮球架实物图与示意图,已知底座BC=0.6米,底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°,支架AF的长为2.5米,篮板顶端F点到篮筐D的距离FD=1.4米,篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°,求篮筐D到地面的距离.(精确到0.1米,参考数据:cos75°≈0.3,sin75°≈0.9,tan75°≈3.7,≈1.7,≈1.4)
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【题目】某中学准备开展“阳光体育活动”,决定开设篮球、足球、乒乓球和羽毛球四种项目的活动,为了了解学生对这四项活动的喜欢情况,随机调查了该校a名学生最喜欢的一种项目(每名学生必选且只能选择这四项活动中的一种),并将调查结果绘制成如下的不完整的统计图:学生最喜欢的活动项目的人数条形统计图学生最喜欢的活动项目的人数扇形统计图
根据以上统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)a=_____,b=______,c=______;
(2)请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图;
(3)根据抽样调查结果,请你估计该校1000名学生中有多少名学生最喜爱打篮球.
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【题目】如图,在中,,,,射线从与射线重合的位置开始,绕点按顺时针方向旋转,与射线重合时就停止旋转,射线与线段相交于点,点是线段的中点.
(1)求线段的长;
(2)①当点与点、点不重合时,过点作于点,于点,连接,,在射线旋转的过程中,的大小是否发生变化?若不变,求的度数;若变化,请说明理由.
②在①的条件下,连接,直接写出面积的最小值____________.
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【题目】如图,⊙O的半径是2,直线l与⊙O相交于A、B两点,M、N是⊙O上的两个动点,且在直线l的异侧,若∠AMB=45°,则四边形MANB面积的最大值是( )
A. 2 B. 4 C. 4 D. 8
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