Question

【题目】如图，在ABCD中，BC=2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF，OC．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB=4，∠ABC=60°，求OC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）首先证明四边形ABEF是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；

（2）过点O作OG⊥BC于点G．分别在Rt△OEG，Rt△OCG中，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解答即可．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD，BC=AD．

∵E，F分别是BC，AD的中点，

∴BEBC，AFAD，

∴BE=AF，

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵BC=2AB，

∴AB=BE，

∴平行四边形ABEF是菱形．

（2）过点O作OG⊥BC于点G，如图所示，

∵E是BC的中点，BC=2AB，

∴BE=CE=AB=4．

∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，

∴BE=CE=AB=4，∠OBE=30°，∠BOE=90°，

∴OE=2，∠OEB=60°，

∴GE=1，OGGE，

∴GC=GE+CE=5，

∴OC2．