Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y=$\frac{2k}{x}$（k＞0），若该反比例函数的图象y=-x+k有交点，设交点为P，则OP的长度至少为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意得出求得是反比例函数和一次函数有一个交点时OP的长度，根据△=0求得k的值，从而求得解析式，联立方程求得交点坐标，根据勾股定理即可求得．

解答 解：当交点P是反比例函数和直线唯一交点时，OP的长度最小，
解$\frac{2k}{x}$=-x+k，
整理得x²-kx+2k=0，
当△=k²-4×2k=0，
求得k=8，
∴直线为y=-x+8，反比例函数为y=$\frac{16}{x}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=\frac{16}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴此时P（4，4），
∴OP=4$\sqrt{2}$，
∴OP的长度至少为4$\sqrt{2}$，
故答案为4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点，一元二次方程根的情况，求得P的坐标是解题的关键．