Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，E为直角顶点，连接EC、BE．
（1）求证：BE=CE；
（2）延长CE、BA交于F，设BE与AC相交于点O，则OE与EF的关系应为OE=OF；
（3）在（2）的条件下，已知AF=2，AO=1，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明BE=EC，只要证明△EAB≌△EDC即可．
（2）欲证明BE=EC，只要证明△BEF≌△CEO即可．
（3）设AB=x，根据AC=2AB列出方程即可解决．

解答 （1）证明：在图1中，∵EA=ED，∠AED=90°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠EDC=180°-∠EDA=135°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAD=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵AC=2AB，DA=DC，
∴AB=DC，
在△EAB和△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=ED}\\{∠EAB=∠EDC}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△EDC，
∴BE=EC．
（2）在图2中，由（1）可知△EAB≌△EDC，
∴BE=EC，∠ABE=∠ECD，
在△BEF和△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBE=∠ECO}\\{BE=EC}\\{∠BEF=∠CEO}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CEO，
∴EF=OE．
故答案为EF=OE．
（3）由（2）可知△BEF≌△CEO，设AB=x，
∵AF=2，AO=1，
∴BF=CO=AB+AF=x+2，AC=AO+OC=1+x+2=x+3，
∵AC=2AB，
∴x+3=2x
∴x=3，
∴AB=3．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、解题的关键是正确寻找全等三角形，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．