Question

4．如图，△ABC中，AB=AC．D为AC上一点．以CD为直径的⊙O与AB边相切于点E．与BC交于点F．FH⊥AB于H，求证：EH=$\frac{1}{2}$CD．

Answer 1

分析 连接OE、OF、DF，根据等腰三角形的性质得出∠OFC+∠BFH=90°，即可证得∠HFO=90°，从而证得四边形OEHF是正方形，即可证得结论．

解答 证明：连接OE、OF、DF，
∵CD是直径，
∴DF⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OF=OC，
∴∠OFC=∠C，
∴∠OFC=∠B，
∵FH⊥AB，
∴∠B+∠BFH=90°，
∴∠OFC+∠BFH=90°，
∴∠HFO=90°，
∵以CD为直径的⊙O与AB边相切于点E．
∴OE⊥AB，
∵OE=OF，
∴四边形OEHF是正方形，
∴EH=OC=$\frac{1}{2}$CD，
即EH=$\frac{1}{2}$CD．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，正方形的判定和性质，作出辅助线根据直角三角形和正方形是解题的关键．