Question

6．在平面直角坐标系中A（-10，20）、B（-10，-5）、C（10，-5）、D（10，20），已知抛物线C₁：y=ax²经过点A．
（1）求抛物线C₁的解析式．
（2）如图，线段BC与y轴交于E点，经过点E的直线FG与线段CD相交于点F，又与线段AB的延长线相交于点G．若∠AFE=∠CFE，求以原点为顶点且经过G点的二次函数C₂的解析式．
（3）在（2）的条件下，直线x=5交抛物线C₁于点P，交抛物线C₂于Q；直线x=m交抛物线C₂于点M，交直线PG于点N，若PQ：MN=29：32，求m的值．

Answer 1

分析 （1）直接把A点坐标代入y=ax²求出a的值即可得到抛物线C₁的解析式；
（2）易得四边形ABCD为矩形，AB=CD=25，AD=BC=20，再根据AG∥CD得到∠CFG=∠AGF，加上∠AFE=∠CFE，所以∠AGF=∠AFG，于是得到AF=AG，接着证明△BEG≌△CEF得到BG=CF，设BG=t，则AG=AF=25+t，CF=t，DF=25-t，在Rt△ADF中利用勾股定理得到20²+（25-t）²=（25+t）²，解得t=4，则G点坐标为（-10，-9），然后利用待定系数法求二次函数C₂的解析式；
（3）先确定P点和Q点坐标得到PQ=$\frac{29}{4}$，由于PQ：MN=29：32，则MN=8，接着利用待定系数法求出直线PG的解析式为y=$\frac{14}{15}$x+$\frac{1}{3}$，则N（m，$\frac{14}{15}$m+$\frac{1}{3}$），M（m，-$\frac{9}{100}$m²），所以MN=|$\frac{14}{15}$m+$\frac{1}{3}$+$\frac{9}{100}$m²|=8，然后解绝对值方程求出m即可．

解答 解：（1）把A（-10，20）代入y=ax²得100a=20，解得a=$\frac{1}{5}$．
所以抛物线C₁的解析式为y=$\frac{1}{5}$x²；
（2）∵A（-10，20）、B（-10，-5）、C（10，-5）、D（10，20），
∴四边形ABCD为矩形，AB=CD=25，AD=BC=20，
∵AG∥CD，
∴∠CFG=∠AGF，
∵∠AFE=∠CFE，
∴∠AGF=∠AFG，
∴AF=AG，
在△BEG和△CEF，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠EFC}\\{BE=CE}\\{∠GBE=∠FCE}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△CEF，
∴BG=CF，
设BG=t，则AG=AF=25+t，CF=t，DF=25-t，
在Rt△ADF中，∵AD²+DF²=AF²，
∴20²+（25-t）²=（25+t）²，解得t=4，
∴G点坐标为（-10，-9），
设二次函数C₂的解析式为y=kx²，
把G（-10，-9）代入y=kx²得100k=-9，解得k=-$\frac{9}{100}$．
∴二次函数C₂的解析式为y=-$\frac{9}{100}$x²；
（3）当x=5时，y=$\frac{1}{5}$x²=5，则P（5，5），
当x=5时，y=-$\frac{9}{100}$x²=-$\frac{9}{4}$，
∴PQ=5+$\frac{9}{4}$=$\frac{29}{4}$，
∵PQ：MN=29：32，
∴MN=8，
设直线PG的解析式为y=px+q，
把G（-10，-9）和P（5，5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-10p+q=-9}\\{5p+q=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{14}{15}}\\{q=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$．
∴直线PG的解析式为y=$\frac{14}{15}$x+$\frac{1}{3}$，
∵直线x=m交抛物线C₂于点M，交直线PG于点N，
∴N（m，$\frac{14}{15}$m+$\frac{1}{3}$），M（m，-$\frac{9}{100}$m²），
∴MN=|$\frac{14}{15}$m+$\frac{1}{3}$+$\frac{9}{100}$m²|=8，
当$\frac{14}{15}$m+$\frac{1}{3}$+$\frac{9}{100}$m²=8，解得m₁=$\frac{-140+10\sqrt{817}}{27}$（舍去），m₂=$\frac{-140-10\sqrt{817}}{27}$，
当$\frac{14}{15}$m+$\frac{9}{100}$m²=-8，方程没有实数解，
∴m的值为$\frac{-140-10\sqrt{817}}{27}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．