Question

3．已知：如图BD、CE是△ABC的外角平分线，AD⊥BD，AE⊥CE，△ABC的周长为2，求DE的长．

Answer 1

分析 延长AD、AE交BC于F、M，首先证明△ABD≌△FBD，根据全等三角形的性质可得AD=DF，AB=BF，同理可得AE=ME，AC=MC，然后再根据△ABC的周长为2可得MF长，根据三角形中位线定理可得DE长．

解答 解：延长AD、AE交BC于F、M，
∵BD平分∠ABF，
∴∠ABD=∠FBD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠BDF=90°，
在△ADB和△FDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠FDB}\\{BD=BD}\\{∠ABD=∠FBD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△FBD（ASA），
∴AD=DF，AB=BF，
同理可得AE=ME，AC=MC，
∵△ABC的周长为2，
∴AB+BC+AC=2，
∴BF+BC+CM=2，
∴FM=2，
∵AD=DF，AE=ME，
∴DE=$\frac{1}{2}$FM=1．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形中位线定理，关键是正确作出辅助线，证明DE为△AFM的中位线．