Question

7．如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，-1），并且与x轴以及直线y=x+1分别交于点C、D．
（1）求直线BD的函数表达式；
（2）求四边形AOCD的面积；
（3）在y轴上是否存在这样的点P，使得以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象可知直线BD经过点（0，-1）、（1，2），接下来利用待定系数法求解即可；
（2）先求得点A、点C的坐标，从而得到OA=1，OC=$\frac{1}{3}$，最后根据S_{四边形AOCD}=S_△AOD+S_△OCD求解即可；
（3）先依据勾股定理求得BD的长，然后分为DP=DB、PD=PB，BP=BD三种情况进行计算即可．

解答 解：（1）设直线BD的解析式为y=kx+b．
∵直线BD经过D（1，2），B（0，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
∴直线BD的解析式为y=3x-1．
（2）∵将x=0代入y=x+1得：y=1，
∴A（0，1）．
∵将y=0代入y=3x-1得：x=$\frac{1}{3}$，
∴C（$\frac{1}{3}$，0）．
∵S_{四边形AOCD}=S_△AOD+S_△OCD，
∴S_{四边形AOCD}=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×2=$\frac{5}{6}$．
（3）∵BD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴①当B为顶点时，BP=BD时，P（0，-1$+\sqrt{10}$）或（0，-1-$\sqrt{10}$）．
②当D为顶点时，DP=DB，则P（0，5）；
③当P为顶点时，PD=PB，BD的中点为E（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），设过点E垂直BD的直线为y=-$\frac{1}{3}$x+b′．
∵把点E代入得到b=$\frac{2}{3}$，
∴直线为y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$．
∴点P为（0，$\frac{2}{3}$）．
综上所述点P的坐标分别为（0，5），（0，$-1-\sqrt{10}$），P（0，$\frac{2}{3}$），（0，-1$+\sqrt{10}$）．

点评 本题考查一次函数的求法、坐标系中四边形面积的求法、等腰三角形等有关知识、勾股定理的应用，相互垂直的两条直线的特点，学会用分割法求面积是解答问题（2）的关键，掌握相互垂直的两条直线的一次项系数的乘积为-1以及分类讨论是解答问题（3）的关键．