Question

2．如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先确定线段DE的长与半径AP的关系，通过圆心角等于圆周角的一半，再结合特殊角的三角函数得出DE=$\sqrt{3}$AP，当AP最大时线段DE最长，由点P在⊙O上可找出AP的最大值，从而得出DE的最大值．

解答 解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，

∵∠BAC=60°，
∴∠DPE=120°．
∵PE=PD，PM⊥DE，
∴∠EPM=60°，
∴ED=2EM=2EP•sin60°=$\sqrt{3}$EP=$\sqrt{3}$PA．
当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．
∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，
∴∠OAF=30°，OF=1，
∴AO=$\frac{1}{sin30°}$=2，AP=2+1=3，
∴DE=$\sqrt{3}$PA=3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质中的解决极值问题，解题的关键是找出DE与AP之间的关系，再解决切线的性质来解决问题．本题属于中等难度题，难点在于找到DE与半径AP之间的关系，只有找到DE与AP之间的关系，才能说明当A、O、P三点共线时DE最大．