Question

7．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且A（4，0），点B在y轴上，且B（0，4）．
（1）求线段AB的长；
（2）若点E在线段AB上，OE⊥OF，OE=OF，求AE+AF的值；
（3）在（2）的条件下，过点O作OM⊥EF，交AB于点M，试确定线段BE、EM、AM的数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$即可解决．
（2）先证明△BOE≌△AOF得AF=BE，所以AE+AF=AE+BE=AB即可解决．
（3）结论：FM²=AM²+AF²．只要证明ME=MF，AF=BE，在RT△AMF中利用勾股定理即可证明．

解答 解：（1）在RT△ABO中，∵AO=OB=4，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
（2）∵∠BOA=∠EOF=90°，
∴∠BOE=∠AOF，
在△BOE和△AOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠BOE=∠AOF}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△AOF，
∴AF=BE，
∴AE+AF=AE+EB=AB=4$\sqrt{2}$．
（3）结论：FM²=AM²+AF²，理由如下：
连接FM．∵OE=OF，OM⊥EF，
∴OM垂直平分分EF，
∴ME=MF，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OBA=∠OAB=45°
由（1）可知△BOE≌△AOF，
∴BE=AF，∠OBE=∠OAF=45°，
∴∠MAF=∠OAF+∠OAB=90°，
∴FM²=AM²+AF²，
∴EM²=BE²+AM²．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是寻找全等三角形，属于中考常考题型．