Question

12．如图，在坐标系中，A（0，6），B（-2，0），C（3，0），∠BAC=45°，BD⊥AC，M（4，6），动点P从点M出发，沿x轴正方向，以每秒2个单位的长度运动t秒
（1）求D点坐标；
（2）连接PA、PE，设△PDE的面积为S，用t的代数式表示S；
（3）过点P作直线PF垂直于直线AC，垂足为F，在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△PCF与△AED全等？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求得直线AC的解析式y=-2x+6，设点D的横坐标为x，根据点D在直线AC上得出纵坐标-2x+6，在Rt△ABD中，由勾股定理得出x=2，从而得出点D坐标为（2，2）；
（2）先证明△BOE∽△BEQ，利用相似三角形对应边成比例，可得OE=1，根据S=S_△PBD-S_△PBE，得出S与t的关系式；
（3）假设存在，根据A、B、D、C、E的坐标可得，DC=DE，AD=BD，即可证明△ADE≌△BDC，得出∠AED=∠BCD=∠PCF，得AE的长度，当CP=AE=5时，利用AAS证明△PCE≌△AED，即可得出时间t．

解答 解：（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（0，6），C（3，0）代入，得$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-2x+6，
设点D的横坐标为x，则纵坐标为：-2x+6，
∵BD⊥AC，
∴AD²+BD²=AB²，
∴[6-（-2x+6）]²+x²+（x+2）²+（-2x+6）²=2²+6²，
解得x₁=0（不合题意，舍去），x₂=2，
当x=2时，y=-2×2+6=2，
∴点D坐标为（2，2）；
（2）易得：△BOE∽△BEQ，利用相似三角形对应边成比例，可得OE=1，
∴S=S_△PBD-S_△PBE=$\frac{1}{2}$（6+2t）×2-$\frac{1}{2}$（6+2t）×1=3t；
（3）存在，
根据ABDCE的坐标可得，DC=DE=$\sqrt{5}$，AD=BD=2$\sqrt{5}$，
∴△ADE≌△BDC，∴∠AED=∠BCD=∠PCF，
易得AE=5，
∴当CP=AE=5时，△PCE≌△AED（AAS），
即MP=4时，t=4÷2=2s．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，以及坐标与图形的性质，涉及到的知识点有：用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的全等、相似，是一道综合性的题目，中考的常见题型，难度不大．