Question

【题目】如图，在四边形 ABCD 中，AD ∥ BC ，∠BCD=90° ，∠ABC=45° ，AD=CD ，CE 平分 ∠ ACB 交 AB 于点 E ，在 BC 上截取 BF=AE ，连接 AF 交 CE 于点 G ，连接 DG 交 AC 于点 H ，过点 A 作 AN ⊥ BC ，垂足为 N ， AN 交 CE 于点 M ．则下列结论：① CM=AF ； ② CE ⊥ AF ； ③△ ABF ∽△ DAH ；④ GD 平分 ∠ AGC ，其中正确的序号是 ________ ．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

结论 ① 正确，证明 △ ACM ≌△ ABF 即可；结论 ② 正确，由 △ ACM ≌△ ABF 得出 ∠ 2= ∠ 4 ，进而得 ∠ 4+∠ 6=90° ，即 CE ⊥ AF ，结论 ③ 正确，证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论 ④ 正确，证法一：利用四点共圆，证法二：利用三角形全等．

解：

⑴ 结论 ① 正确．理由如下：

∵∠1=∠2 ， ∠1+∠CMN=90° ，∠2+∠6=90° ，

∴∠6=∠CMN ，

又 ∵∠5=∠CMN ，

∴∠5= ∠6 ，

∴ AM=AE=BF ．

∵∠BCD=90° ，AN⊥BC，垂足为 N，

∴AN∥CD,

∵AD∥BC∴四边形ADCN是平行四边形，

∵∠BCD=90°，AD=CD

∴ ADCN 为正方形，△ ABC为等腰直角三角形，

∴ AB=AC ．

在△ ACM与△ ABF 中，

，

∴△ACM ≌△ABF（SAS），

∴ CM=AF ；

⑵ 结论②正确．理由如下：

∵△ACM ≌△ABF ，

∴∠2=∠4 ，

∵∠2+∠6=90° ，

∴∠4+∠6=90° ，

∴ CE⊥AF ；

⑶ 结论③正确．理由如下：

证法一： ∵CE⊥AF ，

∴∠ADC+∠AGC=180° ，

∴ A 、D 、C 、G 四点共圆，

∴∠7=∠2 ，

∵∠2=∠4 ，

∴∠7=∠4 ，

又 ∵∠DAH=∠B=45° ，

∴△ABF∽△DAH ；

证法二： ∵ CE⊥AF， ∠1=∠2 ，

∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．

在 Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，

∴ NG=AG ，

∴∠MNG=∠3 ，

∴∠DAG=∠CNG ．

在△ADG与△NCG 中，

，

∴△ADG≌△NCG ( SAS)，

∴∠7=∠1 ，

又 ∵∠1=∠2=∠4 ，

∴∠7=∠4 ，

又 ∵∠DAH=∠B=45° ，

∴△ABF∽△DAH ；

⑷ 结论④正确．理由如下：

证法一： ∵ A、D、C、G 四点共圆，

∴∠DGC=∠DAC=45° ， ∠DGA=∠DCA=45° ，

∴∠DGC=∠DGA ，即GD平分∠AGC ．

证法二： ∵ AM=AE ，CE⊥AF ，

∴∠3=∠4 ，又 ∠2=∠4 ， ∴∠3=∠2

则 ∠CGN=180°-∠ 1- 90°-∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°-∠1-∠2=45° ．

∵△ADG ≌△NCG ，

∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC ，

∴ GD平分∠AGC ．

综上所述，正确的结论是：①②③④，共 4 个．

故答案为： ①②③④