Question

【题目】如图， AB 是 ⊙ O 的直径， C 是的中点， CE ⊥ AB 于 E ， BD 交 CE 于 F ．

（1）求证： CF=BF ；

（2）若 CD=6 ，AC=8 ，求 BE 、 CF 的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3.6 ，

【解析】

（1）延长CE交⊙O于点 P，根据垂径定理得出及圆周角定理得出 ∠BCP=∠BDC ，又由C 是的中点，得∠BDC=∠CBD ，进而得出∠CBD=∠BCP ，从而得出结论；

（2）根据圆周角定理及勾股定理得出 AB 的长，再由直角三角形相似，推出对应边成比例，得出 BE 及 CE 的长，设 CF=x ，则 FE=4.8﹣x ， BF=x ，根据勾股定理得出方程求解即可．

（1）证明：延长 CE 交 ⊙ O 于点 P ，

∵ CE ⊥ AB ，∴，

∴∠ BCP= ∠ BDC ，

∵ C 是的中点，

∴ CD=CB ，

∴∠ BDC= ∠ CBD ，

∴∠ CBD= ∠ BCP ，

∴ CF=BF ；

（2） ∵ CD=6 ， AC=8 ，

∴ AB=10 ，

∵CF⊥AB,AC⊥BC, ∠CBA=∠EBC

∴△CBA∽△EBC

∴

∴ BE= =3.6 ，

同理

∴

∴

设 CF=x ，则 FE=4.8- x ， BF=x ，

∵EF2+BE2=BF2

∴ (4.8﹣x)2 +3.62 =x2 ，

∴ x=

∴ CF=．