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【题目】如图,抛物线yax2+bx+3x轴交于A(﹣30),Bl0)两点,与y轴交于点C

1)求抛物线的解析式;

2)点P是抛物线上的动点,且满足SPAO2SPCO,求出P点的坐标;

3)连接BC,点Ex轴一动点,点F是抛物线上一动点,若以BCEF为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点F的坐标.

【答案】1y=﹣x22x+3;(2)点P,﹣2)或(﹣2)或(﹣2+,﹣4+2)或(﹣2,﹣42);(3)点F坐标(﹣23)或(﹣1+,﹣3)或(﹣1,﹣3

【解析】

1)由待定系数法可求解析式;

2)求出点C坐标,可得OAOC3,由面积关系列出方程可求解;

3)分两种情况讨论,利用平行四边形的性质可求解.

解:(1)∵抛物线yax2+bx+3x轴交于A(﹣30),Bl0)两点,

解得:

∴抛物线的解析式为:y=﹣x22x+3

2)∵抛物线y=﹣x22x+3y轴交于点C

∴点C03

OAOC3

设点Px,﹣x22x+3

SPAO2SPCO

×3×|x22x+3|×3×|x|

x±x=﹣

∴点P,﹣2)或(﹣2)或(﹣2+,﹣4+2)或(﹣2,﹣42);

3)若BC为边,且四边形BCFE是平行四边形,

CFBE

∴点F与点C纵坐标相等,

3=﹣x22x+3

x1=﹣2x20

∴点F(﹣23

BC为边,且四边形BCEF是平行四边形,

BECF互相平分,

BE中点纵坐标为0,且点C纵坐标为3

∴点F的纵坐标为﹣3

∴﹣3=﹣x22x+3

x=﹣

∴点F(﹣1+,﹣3)或(﹣1,﹣3);

BC为对角线,则四边形BECF是平行四边形,

BCEF互相平分,

BC中点纵坐标为,且点E的纵坐标为0

∴点F的纵坐标为3

∴点F(﹣23),

综上所述,点F坐标(﹣23)或(﹣1+,﹣3)或(﹣1,﹣3).

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