【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣3,0),B(l,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上的动点,且满足S△PAO=2S△PCO,求出P点的坐标;
(3)连接BC,点E是x轴一动点,点F是抛物线上一动点,若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点F的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)点P(,﹣2)或(﹣,2)或(﹣2+,﹣4+2)或(﹣2﹣,﹣4﹣2);(3)点F坐标(﹣2,3)或(﹣1+,﹣3)或(﹣1﹣,﹣3)
【解析】
(1)由待定系数法可求解析式;
(2)求出点C坐标,可得OA=OC=3,由面积关系列出方程可求解;
(3)分两种情况讨论,利用平行四边形的性质可求解.
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣3,0),B(l,0)两点,
∴,
解得:,
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3;
(2)∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3与y轴交于点C,
∴点C(0,3)
∴OA=OC=3,
设点P(x,﹣x2﹣2x+3)
∵S△PAO=2S△PCO,
∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=2××3×|x|,
∴x=±或x=﹣2±,
∴点P(,﹣2)或(﹣,2)或(﹣2+,﹣4+2)或(﹣2﹣,﹣4﹣2);
(3)若BC为边,且四边形BCFE是平行四边形,
∴CF∥BE,
∴点F与点C纵坐标相等,
∴3=﹣x2﹣2x+3,
∴x1=﹣2,x2=0,
∴点F(﹣2,3)
若BC为边,且四边形BCEF是平行四边形,
∴BE与CF互相平分,
∵BE中点纵坐标为0,且点C纵坐标为3,
∴点F的纵坐标为﹣3,
∴﹣3=﹣x2﹣2x+3
∴x=﹣1±,
∴点F(﹣1+,﹣3)或(﹣1﹣,﹣3);
若BC为对角线,则四边形BECF是平行四边形,
∴BC与EF互相平分,
∵BC中点纵坐标为,且点E的纵坐标为0,
∴点F的纵坐标为3,
∴点F(﹣2,3),
综上所述,点F坐标(﹣2,3)或(﹣1+,﹣3)或(﹣1﹣,﹣3).
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【题目】用一条直线截三角形的两边,若所截得的四边形对角互补,则称该直线为三角形第三条边上的逆平行线.如图1,DE为△ABC的截线,截得四边形BCED,若∠BDE+∠C=180°,则称DE为△ABC边BC的逆平行线.如图2,已知△ABC中,AB=AC,过边AB上的点D作DE∥BC交AC于点E,过点E作边AB的逆平行线EF,交边BC于点F.
(1)求证:DE是边BC的逆平行线.
(2)点O是△ABC的外心,连接CO.求证:CO⊥FE.
(3)已知AB=5,BC=6,过点F作边AC的逆平行线FG,交边AB于点G.
①试探索AD为何值时,四边形AGFE的面积最大,并求出最大值;
②在①的条件下,比较AD+BG______AB大小关系.(“<、>或=”)
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【题目】居民区内的“广场舞”引起媒体关注,小王想要了解本小区居民对“广场舞”的看法,于是进行了-次抽样调查,把居民对“广场舞”的看法分为四类:
A.非常赞同; B.赞同但要有时间限制; C.无所谓; D.不赞同.
并将调查结果绘成了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解答下列问题:
(1)①本次被抽查的居民人数是________人;将条形统计图补充完整
②图l中∠α的度数是________度;该小区有3000名居民,请估计对“广场舞”表示赞同(包括A类和B类)的大约有________人.
(2)小王想从甲,乙,丙,丁四位居民中随机选取两位了解具体情况,请用列表或画树状图的方法求出恰好同时选中甲和乙两位居民的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点都在格点上,点A,B,C的坐标分别为A(﹣2,3),B(﹣3,1),C(0,1)请解答下列问题:
(1)△ABC与△A1B1C1关于原点O成中心对称,画出△A1B1C1并直接写出点A的对应点A1的坐标;
(2)画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A2B2C,并求出线段AC旋转时扫过的面积.
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【题目】在平面直角坐标系,直线与y轴交于点A,与双曲线交于点.
(1)求点B的坐标及k的值;
(2)将直线AB平移,使它与x轴交于点C,与y轴交于点D,若的面积为6,求直线CD的表达式.
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【题目】如图所示,可以自由转动的转盘被3等分,指针落在每个扇形内的机会均等.小明和小华利用这个转盘做游戏,若采用下列游戏规则:小明和小华各转一次,指针各指向一个数字,如果两数字之和是奇数是小明胜,否则小华胜。
(1)请用列表或画树状图的方法列出所有可能的情况;
(2)你认为这个游戏对双方公平吗?说明理由.
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【题目】如图,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,点D在CE上,且∠A=120°,B,C,G三点在同一直线上,则BD与CF的位置关系是_____;△BDF的面积是_____.
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