【题目】(1)如图,已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN,∠ABC=∠ADC=90°,则能得到如下两个结论:①DC=BC;②AD+AB=AC. 请你证明结论②.
(2)如图,把(1)中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°,其他条件不变,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图3,如果D在AM的反向延长线上,把(1)中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC=∠ADC,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请直接回答;若不成立,你又能得出什么结论,直接写出你的结论.
【答案】(1)见解析;(2)(1)中的结论仍然成立,证明见解析;(3)①DC=BC成立;②不成立,AB﹣AD=AC.
【解析】
(1)由已知易证得△ADC≌△ABC,可得AD=AB,根据已知可得∠ACD=30°可得AC=2AD,即可得结论.
(2)以上结论仍成立;作辅助线CE⊥AD,CF⊥AB,首先证得△ACF≌△ACE,可得CF=CE,即可证得△CFB≌△CED,即可得(1)中结论.
(3)同(2)理作辅助线可得DC=BC成立,AB﹣AD=AC.
解:(1)∵AC平分∠MAN,
∴∠DAC=∠BAC=60°,
∵∠ABC=∠ADC=90°,AC为公共边,
∴△ADC≌△ABC(AAS),
∴AD=AB,DC=BC①;
∵∠DCA=30°,
∴AC=2AD=AD+AB②;
(2)如图:作辅助线CF⊥AB,CE⊥AD,
∵AC平分∠MAN,
∴∠DAC=∠BAC=60°,
又∵CF⊥AB,CE⊥AD,且AC为公共边,
∴△ACF≌△ACE(AAS),即CF=CE①;
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠MAN=120°,
∴∠DCB=180°﹣120°=60°,
∵在直角三角形AFC中∠ACF=30°,
∴∠DCA+∠FCB=30°,
∵在直角三角形AEC中∠DCA+∠DCE=30°,
∴∠FCB=∠DCE②;
由CE⊥AD,CF⊥AB,且已证得条件①②,
∴△CED≌△CFB(ASA),
∴DC=BC;ED=FB;
∵在直角△ACF中,AC=2AF,在直角△ACE中,AC=2AE,即AC=AE+AF,
已证得ED=FB,
∴AC=AD+AB;
(3)①DC=BC成立;②不成立,AB﹣AD=AC.
故答案为:(1)见解析;(2)(1)中的结论仍然成立,证明见解析;(3)①DC=BC成立;②不成立,AB﹣AD=AC.
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【题目】如果手头没有硬币,下列方法可以模拟掷硬币实验的是( )
A. 掷一个瓶盖,盖面朝上代表正面,盖面朝下代表反面
B. 掷一枚图钉,钉尖着地代表正面,钉帽着地代表反面
C. 用计算器产生1和2两个随机整数,1代表正面,2代表反面
D. 转动如图所示的装盘,指针指向“红”代表正面,指针指向“蓝”代表反面
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【题目】为增强学生的身体素质,教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时.为了解学生参加户外活动的情况,对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查,并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)补全频数分布直方图;
(2)表示户外活动时间1小时的扇形圆心角的度数是多少;
(3)本次调查学生参加户外活动时间的众数是多少,中位数是多少;
(4)本次调查学生参加户外活动的平均时间是否符合要求?
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【题目】某课外活动小组为了了解本校学生上网目的,随机调查了本校的部分学生,根据调查结果,统计整理并制作了如下尚不完整的统计图,根据以上信息解答下列问题:
(1)参与本次调查的学生共有_____人;
(2)在扇形统计图中,m的值为_____;圆心角α=_____度.
(3)补全条形统计图;
(4)中学生上网玩游戏、聊天交友已经对正常的学习产生较多负面影响,为此学校计划开展一次“合理上网”专题讲座,每班随机抽取15名学生参加,小明所在的班级有50名学生,他被抽到听讲座的概率是多少?
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【题目】已知,如图,点B、F、C、E在同一直线上,AC、DF相交于点G,AB⊥BE,垂足为B,DE⊥BE,垂足为E,且AC=DF,BF=CE.
求证:GF=GC.
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【题目】我国中东部地区雾霾天气趋于严重,环境治理已刻不容缓.我市某电器商场根据民众健康需要,代理销售某种家用空气净化器,其进价是200元/台.经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是400元/台时,可售出200台,且售价每降低10元,就可多售出50台.若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.
(1)试确定月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式;并求出自变量x的取值范围;
(2)当售价x(元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?
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【题目】某公司有A、B两种型号的客车,它们的载客量、每天的租金如表所示:
A型号客车 | B型号客车 | |
载客量(人/辆) | 30 | 45 |
租金(元/辆) | 450 | 600 |
已知某中学计划租用两种型号的客车共10辆送七年级师生去某地参加社会实践活动,已知该中学租车的总费用不超过5600元.
(1)求最多能租用多少辆B型号客车?
(2)若七年级师生共有380人,请写出所有可能的租车方案.
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【题目】如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,Rt△ABC的三个顶点A(-2,2),B(0,5),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,得到△A1B1C,请画出△A1B1C的图形.
(2)平移△ABC,使点A的对应点A2坐标为(-2,-6),请画出平移后对应的△A2B2C2的图形.
(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标.
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