Question

【题目】如图，抛物线与x轴相交于两点，（点A在B点左侧）与y轴交于点C.

（Ⅰ）求两点坐标.

（Ⅱ）连结，若点P在第一象限的抛物线上，P的横坐标为t，四边形的面积为S.试用含t的式子表示S，并求t为何值时，S最大.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，若点分别为抛物线及其对称轴上的点，点G的横坐标为m，点H的纵坐标为n，且使得以四点构成的四边形为平行四边形，求满足条件的的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）,当时，；（Ⅲ）满足条件的点的值为：，或，或

【解析】

（Ⅰ）令y=0，建立方程求解即可得出结论；
（Ⅱ）设出点P的坐标，利用S=S△AOC+S梯形OCPQ+S△PQB，即可得出结论；
（Ⅲ）分三种情况，利用平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式建立方程组即可得出结论．

解：（Ⅰ）抛物线，

令，则，

解得：或，

∴

（Ⅱ）由抛物线，令，∴，∴，

如图1，点P作轴于Q，

∵P的横坐标为t，∴设，

∴

∴

，

∴当时，；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，

∴，

∵抛物线的对称轴为，

∴设

以四点构成的四边形为平行四边形，，

①当和为对角线时，

∴，

∴，

②当和是对角线时，

∴，

∴，

③和为对角线时，

∴，

∴，

即：满足条件的点的值为：

，或，或