Question

【题目】（模型建立）

如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点.

求证：；

（模型应用）

①已知直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转至直线，如图2，求直线的函数表达式；

②如图3，在平面直角坐标系中，点，作轴于点，作轴于点，是线段上的一个动点，点是直线上的动点且在第一象限内.问点、、能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时点的坐标，若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】【模型建立】详见解析；【模型应用】①；②Q点坐标为（4，2）或（，）.

.

【解析】

模型建立：根据△ABC为等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定△ACD≌△CBE；
模型应用：①过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，根据△CBD≌△BAO，得出BD=AO=2，CD=OB=3，求得C（-3，5），最后运用待定系数法求直线l2的函数表达式；
②分两种情况考虑：如图3，∠AQP=90°，AQ=PQ，设Q点坐标为（a，2a-6），利用三角形全等得到a+6-（2a-6）=8，得a=4，易得Q点坐标；如图4，同理求出Q的坐标.

模型建立：证明：∵，

∴.

∵,∠ACB=90°.

∴.

又∵，

∴.

在与中，

，

∴.

模型应用：

如图2，过点作交于，过作轴于，

∵，

∴为等腰直角三角形.

由（1）可知：，

∴，.

∵

∴令，得，∴，

令，得，∴.

∴，，

∴.

∴.

设的解析式为

∴

∴

的解析式：.

分以下两种情况：

如图3，当∠AQP=90°时，AQ=PQ，过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F．

在△AQE和△QPF中，由（1）可得，△AQE≌△QPF（AAS），
AE=QF，设点Q的坐标为(a,2a-6),即6-（2a-6）=8-a，解得a=4.

此时点Q的坐标为（4，2）.
如图4：当∠AQP=90°时，AQ=PQ时，过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F，设点Q的坐标为(a,2a-6),则AE=2a-12，FQ=8-a．

,

在△AQE和△QPF中，同理可得△AQE≌△QPF（AAS），
AE=QF，即2a-12=8-a，解得a=.

此时点Q的坐标为（，）.

综上所述：A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为 （4，2）或（，）.