【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O是斜边AB的中点，将边长足够大的三角板的直角顶点放在点O处，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），记三角板的两直角边与Rt△ABC的两腰AC、BC的交点分别为E、D，四边形CEOD是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图①所示）.那么，在上述旋转过程中：
（1）线段CE与BD具有怎样的数量关系？四边形CEOD的面积是否发生变化？证明你发现的结论；
（2）当三角尺旋转角度为____________时，四边形CEOD是矩形；
（3）若三角尺继续旋转，当旋转角度α（90°＜α＜180°）时，三角尺的两边与等腰Rt△ABC的腰CB和AC的延长线分别交于点D、E（如图②所示）. 那么线段CE与BD的数量关系还成立吗？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由。
【答案】（1）结论：CE=BD，四边形CEOD的面积不变，理由见解析；（2）45°；（3）成立，证明见解析
【解析】
（1）连接OC，易证得
，根据
即可证得结论；
（2）若四边形CEOD是矩形，则
，通过计算可求得旋转角度α；
（3）证得∠OCE=∠OBD=135°和∠BOD=∠COE，易证得△OCE≌△OBD，从而证得结论.
（1）解：结论：CE=BD，四边形CEOD的面积不变.
如图，连接OC．
∵AC=BC，AO=BO，∠ACB=90°，
∴∠ACO=∠BCO=
∠ACB=45°，OC⊥AB，∠A=∠B=45°，
∴OC=OB，
∵∠EOD=90°，
∴∠COE+∠COD=90°
又∵OC⊥AB，
∴∠BOD+∠COD=90°，
∴∠BOD=∠COE，
在△OCE和△OBD中，
，
∴△OCE≌△OBD，
∴CE=BD，
∴
,
∵
.
∴ 四边形
的面积不变，始终等于
面积的一半.
（2）如下图，
四边形CEOD是矩形，
∴
，
∵，
∴
，
故答案为：
；
（3）如图，连接OC．
∵AC=BC，AO=BO，∠ACB=90°，
∴∠ACO=∠BCO=
∠ACB=45°，OC⊥AB，∠A=∠B=45°，
∴OC=OB，∠OCE=∠OBD=135°
∵∠EOD=90°，
∴∠BOD+∠BOE=90°，
又∵OC⊥AB
∠COE+∠BOE=90°，
∴∠BOD=∠COE，
在△OCE和△OBD中，
∴△OCE≌△OBD，
∴CE=BD.
名题金卷系列答案
优加精卷系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，A（6，0），B（0，4），点B关于x轴的对称点为C点，点D在x轴的负半轴上，△ABD的面积是30．
（1）求点D坐标；
（2）若动点P从点B出发，沿射线BC运动，速度为每秒1个单位，设P的运动时间为t秒，△APC的面积为S，求S与t的关系式；
（3）在（2）的条件下，同时点Q从D点出发沿x轴正方向以每秒2个单位速度匀速运动，若点R在过A点且平行于y轴的直线上，当△PQR为以PQ为直角边的等腰直角三角形时，求满足条件的t值．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】（模型建立）
如图1，等腰直角三角形
中，
，
，直线
经过点
，过
作
于点
，过
作
于点
.
求证：
；
（模型应用）
①已知直线
：
与
轴交于点，与
轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转
至直线
，如图2，求直线的函数表达式；
②如图3，在平面直角坐标系中，点
，作
轴于点，作
轴于点，
是线段
上的一个动点，点
是直线
上的动点且在第一象限内.问点、、能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时点的坐标，若不能，请说明理由.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边
，如图1，并在边
上任意取了一点
（点不与点
、点
重合），过点作
交
于点
，延长
到
，使得
，连接
交于点
.
（1）若
，求
的长度；
（2）如图2，延长
到
，再延长
到
，使得
，连接
，
，求证：
.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】永州市在进行“六城同创”的过程中,决定购买
两种树对某路段进行绿化改造,若购买
种树2棵, 
种树3棵,需要2700元；购买种树4棵, 种树5棵,需要4800元.
(1)求购买两种树每棵各需多少元?
(2)考虑到绿化效果,购进A种树不能少于48棵,且用于购买这两种树的资金不低于52500元.若购进这两种树共100棵.问有哪几种购买方案?
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在四张背面完全相同的纸牌
、
、
、
，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这
张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．
用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用、、、表示）；
求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某校数学兴趣小组成员小华对本班上学期期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为
分）作了统计分析，请你根据图表提供的信息，解答下列问题：
分组 |
|
|
|
|
| 合计 |
频数 |
|
|
|
|
|
|
频率 |
|
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|
|
|
|
表中
________，
________，
________，
________；
根据学校规定将有
的学生参加校级数学冬令营活动，试确定参赛学生的最低资格线？
数学老师准备从不低于
分的学生中选
人介绍学习经验，其中符合条件的小华、小丽同时被选中的概率是多少？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=
（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE.
（1）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）；
（2）在（0°<<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；
（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明.
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