【题目】已知正方形和正六边形 边长均为1,如图所示,把正方形放置在正六边形外,使边与边重合,按下列步骤操作:将正方形在正六边形外绕点逆时针旋转,使边与边重合,完成第一次旋转再绕点逆时针旋转,使边与边重合,完成第二次旋转;此时点经过路径的长为_________:若按此方式旋转,共完成六次,在这个过程中,点之间距离的最大值是____.
【答案】
【解析】
(1)画出运动轨迹,根据多边形内角和求出∠BCD,进而得出∠BCG,再根据弧长公式即可得出答案;
(2) 连接DG,作CW⊥DB,
解:(1)如图,点O的运动轨迹是图在黄线,则完成第二次旋转经过路径的长
∵六边形ABCDEF 内角和=(6-2)×180°=720°,
∴∠BCD=720°÷6=120°,
则∠GCR=60°
∵∠BCR=90°,∠GCR=60°,
∴∠BCG=150°,
则=;
(2) 连接DG,作CW⊥DB,根据勾股定理求出DW和KD,相加即可求出BK.
观察图像可知点B,O间的距离d的最小值为0,最大值为线段BK,
∵由(1)得∠BCD=120°,BC=DC=1
∴∠DCW=60°,∠WDC=30°,
则CW=,DW= ,BD=,
∵K、G是D为圆心的圆上的点,
∴GD=KD=,
∴BK= BD+ KD=
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【题目】在△ABC中,AB=AC,点D是BC中点,∠EDF两边分别交线段AB于点E,交线段AC于点F,且∠EDF+∠BAC=180°
(1)如图1,当∠EDF=90°时,求证:BE=AF;
(2)如图2,当∠EDF=60°时,求证:AE+AF=AD;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接EF并延长EF至点G,使FG=EF,连接CG,若BE=5,CF=4,求CG的长度.
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【题目】某商场服装部为了调动营业员的积极性,决定实行目标管理,根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励.为了确定一个适当的月销售目标,商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额(单位:万元),数据如下:
17 | 18 | 16 | 13 | 24 | 15 | 28 | 26 | 18 | 19 |
22 | 17 | 16 | 19 | 32 | 30 | 16 | 14 | 15 | 26 |
15 | 32 | 23 | 17 | 15 | 15 | 28 | 28 | 16 | 19 |
对这30个数据按组距3进行分组,并整理、描述和分析如下.
频数分布表
组别 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 |
销售额 | |||||||
频数 | 7 | 9 | 3 | 2 | 2 |
数据分析表
平均数 | 众数 | 中位数 |
20.3 | 18 |
请根据以上信息解答下列问题:
(1)填空:a= ,b= ,c= ;
(2)若将月销售额不低于25万元确定为销售目标,则有 位营业员获得奖励;
(3)若想让一半左右的营业员都能达到销售目标,你认为月销售额定为多少合适?说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,对于点和,给出如下定义:若上存在一点不与重合,使点关于直线的对称点在上,则称为的反射点.下图为的反射点的示意图.
(1)已知点的坐标为,的半径为,
①在点,,中,的反射点是____________;
②点在直线上,若为的反射点,求点的横坐标的取值范围;
(2)的圆心在轴上,半径为,轴上存在点是的反射点,直接写出圆心的横坐标的取值范围.
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【题目】如图, ,且,直线经过点.设,于点,将射线绕点按逆时针方向旋转,与直线交于点.
(1)当时, ;
(2)求证: ;
(3)若的外心在其内部,直接写出的取值范围.
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【题目】跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线,下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4,离地面的高度为1,以小明的手所在位置为原点建立平面直角坐标系.
(1)当身高为15的小红站在绳子的正下方,且距小明拿绳子手的右侧1处时,绳子刚好通过小红的头顶,求绳子所对应的抛物线的表达式;
(2)若身高为的小丽也站在绳子的正下方.
①当小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5处时,绳子能碰到小丽的头吗?请说明理由;
②设小丽与小亮拿绳子手之间的水平距离为,为保证绳子不碰到小丽的头顶,求的取值范围.(参考数据: 取3.16)
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【题目】如图,点A是反比例函数y=(x>0)图象上一点,直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B,C,过点A作AD⊥x轴,垂足为D,连接DC,若△BOC的面积是4,则△DOC的面积是______.
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【题目】为弘扬中华传统文化,某校组织八年级1000名学生参加汉字听写大赛.为了解学生整体听写能力,赛后随机抽查了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)进行统计分析,并制作成图表:
组别 | 分数段 | 频数 | 频率 |
一 | 50.5~60.5 | 16 | 0.08 |
二 | 60.5~70.5 | 30 | 0.15 |
三 | 70.5~80.5 | m | 0.25 |
四 | 80.5~90.5 | 80 | n |
五 | 90.5~100.5 | 24 | 0.12 |
请根据以上图表提供的信息,解答下列可题:
(1)这次随机抽查了______名学生,表中的数m=______,n=______;此样本中成绩的中位数落在第______组内;若绘制扇形统计图,则在修中“第三组”所对应扇形的圆心角的度数是______
(2)补全频数直方图;
(3)若成绩超过80分为优秀,请你估计该校八年级学生中汉字听写能力优秀的人数.
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【题目】在平面直角坐标系中,点在轴正半轴上,点在轴正半轴上,为坐标原点,,过点作于点:过点作于点:过点作于点:过点作于点…以此类推,点的坐标为__________.
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