Question

【题目】如图，是圆的直径，，点是圆上一动点（与，不重合），的平分线交圆于．

判断的形状，并证明你的结论；

若是的内心，当点运动时，、中是否存在长度保持不变的线段？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)△ABD是等腰直角三角形，理由见解析；(2)的长度不变，且.

【解析】

（1）先根据圆周角定理得出∠ADB=90°，根据CD平分∠ACB可知，所以AD=BD，故可得出结论；

（2）先根据勾股定理求出BD的长，连接BI，则∠4=∠5，由（1）可知，所以∠1=∠2，再由三角形外角的性质可知∠3=∠1+∠4=∠2+∠5，故可得出DI=BD是定值．

解:是等腰直角三角形．理由如下：

∵是圆的直径，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形；

（2）的长度不变，且

在中，

∵，，

∴，

连接，

∵是的内心，

∴，

∵由可知，

∴，

∵是的外角，

∴，

∴是定值，即．