Question

1．如图，点D，E在线段BC上，且△ABC是等边三角形，当DB，BC，CE满足怎样的关系时，△ADB∽△EAC，并加以证明．

Answer 1

分析 先根据等边三角形的性质得AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，则利用邻补角的定义可得∠ABD=∠ACE，于是根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当$\frac{AB}{EC}$=$\frac{DB}{AC}$时，可判断△ADB∽△EAC，然后利用等线段代换即可得到DB，BC，CE的关系．

解答 解：当DB，BC，CE满足BC²=DB•CE时，△ADB∽△EAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ACE=120°，
∴当$\frac{AB}{EC}$=$\frac{DB}{AC}$时，△ADB∽△EAC，
即AB•AC=DB•EC，
而AB=BC=AC，
即有BC²=DB•CE．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了等边三角形的性质．