Question

11．二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴从左到右两个交点依次为A、B，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）如果P是该抛物线对称轴上一点，试求出使PA+PC最小的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线与x轴的交点问题，通过解方程x²-2x-3=0即可得到A点和B点坐标，然后求当x=0时的函数值即可得到C点坐标；
（2）利用抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线x=1，连结BC交直线x=1于P点，利用两点之间线段最短可判断此时的点P使PA+PC最小，接着利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后求直线BC与直线x=1的交点坐标即可．

解答 解：（1）令y=0，即x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=-3，
∴A（-1，0），B（3，0），
当x=0时，y=x²-2x-3=-3，
∴C（0，-3）；
（2）∵A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
连结BC交直线x=1于P点，
∵PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC=BC，
∴点P使PA+PC最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
当x=1时，y=x-3=1-3=-2，
∴P点坐标为（1，-2）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程．也考查了关于最短路径问题的解决方法．