Question

如图，正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1．把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，连接DF，则tan∠CDF的值是

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：分类讨论：当F点在BC上，如图1，由DE=2，EC=1得到正方形的边长为3，再根据旋转的性质得AE=AF，则可证明Rt△ABF≌Rt△ADE，得到BF=DE=2，则CF=BC-BF=1，在Rt△CDF中利用正切的定义即可得到tan∠CDF=

1

3

；当F点在CB的延长线上，如图2，同理可得BF=DE=2，则CF=BF+BC=5，在Rt△CDF中利用正切的定义得tan∠CDF=

5

3

，综上所述，tan∠CDF的值为

1

3

或

5

3

．

解答：解：当F点在BC上，如图1，
∵DE=2，EC=1，
∴CD=3，即正方形的边长为3，
∵线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，
∴AE=AF，
在Rt△ABF和△ADE中，

AB=AD AF=AE

，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴BF=DE=2，
∴CF=BC-BF=3-2=1，
在Rt△CDF中，tan∠CDF=

CF

DC

=

1

3

；
当F点在CB的延长线上，如图2，
同理可得BF=DE=2，则CF=BF+BC=2+3=5，
在Rt△CDF中，tan∠CDF=

CF

DC

=

5

3

，
综上所述，tan∠CDF的值为

1

3

或

5

3

．
故答案为

1

3

或

5

3

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．