Question

13．如图，正方形ABCD中，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF、CF．
（1）如图①，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形．
（2）如图②，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可以得出AB=BC，∠ABP=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性质就可以得出结论；
（2）由正方形的性质可以得出AB=BC，∠FBC=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性质就可以得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°
在△PBA和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠PBA=∠ABC}\\{BP=BF}\end{array}\right.$，
∴△PBA≌△FBC（SAS），
∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．   
∵PA=PE，
∴PE=FC．        
∵∠PAB+∠APB=90°，
∴∠FCB+∠APB=90°．                                
∵∠EPA=90°，
∴∠APB+∠EPA+∠FCP=180°，
即∠EPC+∠PCF=180°，
∴EP∥FC，
∴四边形EPCF是平行四边形；

（2）解：结论：四边形EPCF是平行四边形，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°    
在△PBA和△FBC中，
 $\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠PBA=∠ABC}\\{BP=BF}\end{array}\right.$，
∴△PBA≌△FBC（SAS），
∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．                                     
∵PA=PE，
∴PE=FC．               
∵∠FCB+∠BFC=90°，
∠EPB+∠APB=90°，
∴∠BPE=∠FCB，
∴EP∥FC，
∴四边形EPCF是平行四边形．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时灵活运用平行四边形的判定方法是关键．