Question

5．如图，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过第二象限内的点A（-1，m），AB⊥x轴于点B，△AOB 的面积为2．若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上另一点C（n，一2）．
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$与直线y=ax+b的解析式；
（2）根据所给条件，直接写出不等式ax+b≥$\frac{k}{x}$的解集x≤-1或0＜x≤2； 
（3）求出线段OA的长，并思考：在x轴上是否存在一点P，使得△PAO是等腰三角形？如果存在，请直接写出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（4）如果D为反比例函数在第二象限图象上的点（点D与点A不重合），且D点的横坐标为-2，在x轴上求一点P，使PA+PD最小．

Answer 1

分析 （1）根据△ABO的面积即可求出k的值，将A（-1，m），C（n，一2）分别代入解析式求A（-1，4），C（2，-2），代入y=ax+b即可求出a、b的值，从而得到直线解析式；
（2）根据图象可直接求出x的取值范围；
（3）分四种情况讨论：．①OP₁=OA时；②OP₂=OA时；③AP₃=OA时；④AP₄=OP₄时．

解答 解：（1）∵点A（-1，m）在第二象限内，
∴AB=m，OB=1，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$AB•BO=2，
即：$\frac{1}{2}$m×1=2，
解得m=4，
∴A （-1，4），
∵点A （-1，4），在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴4=$\frac{k}{-1}$，解得k=-4，
∴反比例函数为y=-$\frac{4}{x}$
又∵反比例函数y=-$\frac{4}{x}$的图象经过C（n，-2），
∴-2=-$\frac{4}{n}$，解得n=2，
∴C （2，-2），
∵直线y=ax+b过点A （-1，4），C （2，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}4=-a+b\\-2=2a+b\end{array}\right.$，
解方程组得$\left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=2\end{array}\right.$，
∴直线y=ax+b的解析式为y=-2x+2；
（2）由图可得，x≤-1或0＜x≤2．
（3）如图1，OA=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$．
存在．①OP₁=OA时，OP₁=$\sqrt{17}$，P₁（$\sqrt{17}$，0）；
②OP₂=OA时，OP₂=$\sqrt{17}$，P₂（-$\sqrt{17}$，0）；
③AP₃=OA时，BP₃=BO=1，P₃（-2，0）；
④AP₄=OP₄时，设AP₄=OP₄=m，则OB=1，P₄B=m-1，
在Rt△ABP₄中，（m-1）²+4²=m²，
解得，m=8.5，
P₄（-8.5，0）．
P的坐标为：（$\sqrt{17}$，0），（-$\sqrt{17}$，0），（-2，0），（-8.5，0）．
（4）如图2，当x=-2时，y=$\frac{-4}{-2}$=2，得到D（-2，2），
D关于x轴的对称点D′为（-2，-2），
设AD′的解析式为y=kx+b，
将D′（-2，-2），A（-1，4）分别代入解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}-k+b=4\\-2k+b=-2\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}k=6\\ b=10\end{array}\right.$，
函数解析式为y=6x+10，
当y=0时，x=-$\frac{5}{3}$，
∴P（-$\frac{5}{3}$，0）．
故答案为x≤-1或0＜x≤2．

点评 本题考查了反比例函数综合题：涉及（1）反比例函数k的几何意义；（2）根据图形直接判断出x的取值范围；（3）要注意分类讨论，找到相等的边，然后列方程求坐标；（4）是轴对称--最短路径问题与一次函数的结合，注意作图．