Question

1．如图，已知矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=6，将该矩形沿对角线BD翻折，使△DBG与△DBC在同一平面内，C的对应点为G，BG交AD于E，以BE为边作等边三角形PEF（P与B重合），点E、F位于AB两侧，将△PAF沿射线BD方向以每秒2个单位的速度平移，当P到达点D时停止平移，设平移时间为t秒．
（1）求EG的长；
（2）在平移过程中，设△PAF与△BDG的重叠部分面积为S，直接写出S与t的函数关系式及相应的t的取值范围；
（3）当平移结束后（即点P到达点D时），将△PAF绕点P旋转，A的对应点A′，F的对应点F′，直线PF′与直线BG的交点为M，直线F′A′与直线BG的交点为N，在旋转过程中，是否存在△F′MN是直角三角形？若存在请求出F′N的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形判定出△DGE≌△EAB，再根据勾股定理得出EG的长度即可；
（2）根据△BAF沿射线BD方向的平移分情况进行求解，同时根据三角形的面积公式进行分析解答；
（3）分类讨论，分别以M和N为直角顶点计算即可．

解答 解：（1）∵矩形沿对角线BD翻折，
∴△BDC≌△BDG，
∴DG=DC=AB，
在△EBA和△EDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠GED}\\{∠EAB=∠EGD=90°}\\{DG=BA}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△EAB（AAS），
∴BE=DE，AE=EG，
在Rt△GED中，
EG²+DG²=DE²，即EG²+（2$\sqrt{3}$）²=（6-EG）²，
解得：EG=2；
（2）①当0＜t≤$\sqrt{3}$时，△BAF沿射线BD方向的平移图如图1，

∴HQ=HP=BPtan30°=$\frac{2\sqrt{3}t}{3}$，
∴S=S_△HQP=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×H{Q}^{2}×3$=$\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}$；
②当$\sqrt{3}$＜t≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$时，△BAF沿射线BD方向的平移图如图2，

∴S_△BAP=$\frac{1}{2}×B{P}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}B{P}^{2}$，
S_△QPD=$\frac{\sqrt{3}}{4}P{D}^{2}$，
S_△BGD=$\frac{1}{2}×6×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$，
∴S=S_△BGD-S_△BHP-S_△QPD=-$\frac{5\sqrt{3}}{3}{t}^{2}+12t-6\sqrt{3}$；
③当$\frac{3\sqrt{3}}{2}$＜t≤2$\sqrt{3}$时，△BAF沿射线BD方向的平移图如图3，
∴S△HPQ=$\frac{1}{2}P{D}^{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}P{D}^{2}$，
∴S=S△HPQ-S△QPD=$\sqrt{3}{t}^{2}-12t+12\sqrt{3}$；
综上所述：S与t的函数关系式为：
S=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×H{Q}^{2}×3$=$\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}$（0＜t≤$\sqrt{3}$）；
S=-$\frac{5\sqrt{3}}{3}{t}^{2}+12t-6\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$＜t≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
S=$\sqrt{3}{t}^{2}-12t+12\sqrt{3}$（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$＜t≤2$\sqrt{3}$）．
（3）存在，
①如图4，当以N为直角顶点时，F′N=2$\sqrt{3}$±2；
②如图5，当以M（G）为直角顶点时，F′M=4±2$\sqrt{3}$，
∴F′N=2F′M=8±4$\sqrt{3}$，
综上所述：F′N=2$\sqrt{3}$±2或F′N=8±4$\sqrt{3}$．

点评 此题考查几何变换问题，关键是全等三角形的判定和性质，同时注意平移的性质，综合性强，是一道典型题目