Question

如图，类似于平面直角坐标系，我们现定义平面斜坐标系，∠xOy=60°，对于平面内任意一点M，过M点作两条直线分别平行于x轴和y轴，与x轴、y轴相交的点所表示的数为a和b，则M点的斜坐标为（a，b）．
（1）若A点的斜坐标为（-2，2），试在该坐标系中作出点A，并求点A到点O的距离；
（2）在斜坐标系xOy中，已知点B（4，0），点C（0，3），P（x，y）是线段BC上的任意一点，试说明3x+4y是一个定值；
（3）若问题（2）中的点P在直线BC上，其他条件都不变，试判断上述x，y之间的数量关系是否仍然成立；
（4）请在备用图上画出与方程2x-3y=6相对应的直线．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）作AM∥y轴，AM与x轴交于点M，AN∥x轴，AN与y轴交于点N，构建菱形AMON，然后根据菱形的性质以及等边三角形的判定与性质来求OA的长度；
（2）过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，则PN=x，PM=y；根据平行线截线段成比例分别列出关于x、y的比例式

PN

OB

=

CP

CB

，

PM

OC

=

BP

BC

，；再由线段间的和差关系求得PC+BP=BC，利用

x

4

+

y

3

=1求解；
（3）当点P在线段BC的延长线上时，上述结论仍然成立，证明过程同（2）．
（4）由x=0时，得y=-2，当y=0时，得x=3，画图即可．

解答：解：（1）如图1，作AM∥y轴，AM与x轴交于点M，AN∥x轴，AN与y轴交于点N，

∵四边形AMON为平行四边形，且OM=ON，
∴AMON是菱形，OM=AM
∴OA平分∠MON，
又∵∠xOy=60°，
∴∠MOA=60°，
∴△MOA是等边三角形，
∴OA=OM=2
（2）如图2，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，则 PN=x，PM=y，

由PN∥OB，得

PN

OB

=

CP

CB

，即

x

4

=

CP

CB

；
由PM∥OC，得

PM

OC

=

BP

BC

，即

y

3

=

BP

BC

；
∴

x

4

+

y

3

=

CP

CB

+

BP

BC

=1；即 3x+4y=12．
（3）如图3，当点P在线段BC的延长线上时，上述结论仍然成立．

理由如下：这时 PN=-x，PM=y，
与（2）类似由PN∥OB，得

PN

OB

=

CP

CB

，即-

x

4

=

CP

CB

；
由PM∥OC，得

PM

OC

=

BP

BC

，即

y

3

=

BP

BC

；
又∵

BP

BC

-

CP

BC

=1，
∴

y

3

-

-x

4

=1，

x

4

+

y

3

=

CP

CB

+

BP

BC

=1；即 3x+4y=12．
（4）当x=0时，得-3y=6，解得y=-2，
当y=0时，2x=6，解得x=3，
则如图4为2x-3y=6相对应的直线．

点评：本题综合考查了一次函数综合题、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．解答本题时，是通过作辅助线构建平行四边形（或菱形）解答问题的．