Question

已知，如图△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，某同学分析图形后得出以下结论：①DH⊥BC；②CE=；③△AEB≌△CEB；④△BDF≌△CDA．上述结论一定正确的是(     )

A．①③ B．③④ C．①③④     D．①②③④

Answer 1

D【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】根据∠ABC=45°，CD⊥AB于D，可以证明△BCD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得DH⊥BC，判断①正确，然后证明△BDF与△CDA全等，④正确，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，根据BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，可以证明△ABE与△CBE全等，③正确；根据全等三角形对应边相等可得AE=CE，从而判断②正确．

【解答】解：∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，

∴△BCD是等腰直角三角形，H是BC边的中点，

∴BD=CD，DH⊥BC，①正确；

∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，

∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，

∴∠DBF=∠ACD，

在△BDF与△CDA中，

，

∴△BDF≌△CDA（ASA），故④正确；

∴BF=AC，

∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，

∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，

∴在△ABE与△CBE中，

，

∴△ABE≌△CBE（ASA），故③正确；

∴AE=CE=AC，

∴BF=2CE，故②正确；

【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，仔细分析图形并熟练掌握各性质是解题的关键．