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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a0)x轴相交于A(﹣10)B(30)两点,点C为抛物线的顶点.点M(0m)y轴上的动点,将抛物线绕点M旋转180°,得到新的抛物线,其中BC旋转后的对应点分别记为B'C'

1)若a=1,求原抛物线的函数表达式;

2)在(1)条件下,当四边形BCB'C'的面积为40时,求m的值;

3)探究a满足什么条件时,存在点M,使得四边形BCB'C'为菱形?请说明理由.

【答案】1;(2m=4m=﹣16;(3a时,存在点M,使得四边形BCB'C'为菱形,理由见解析.

【解析】

1)根据原抛物线a=1,并且经过,即可求出原抛物线的函数表达式;

2)在(1)条件下,连接,延长,与轴交于点,证明四边形是平行四边形,面积为40,即可求的值;

3)过点轴于点,当平行四边形为菱形时,应有,故点之间,当时,,得.由二次函数的顶点为,可得,进而列出一元二次方程,根据判别式即可求出满足的条件.

解:(1)抛物线a=1,并且经过,题意得:

解得

原抛物线的函数表达式为:

2)连接,延长,与轴交于点

二次函数的顶点为

直线的解析式为:

抛物线绕点旋转

四边形是平行四边形,

3)如图,过点轴于点

当平行四边形为菱形时,应有,故点之间,

时,

二次函数的顶点为

所以时,存在点,使得四边形为菱形.

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等级

A

B

C

D

频数

40

120

36

n

频率

0.2

m

0.18

0.02

1)表中m   n   

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