Question

19．今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山话动．他们从山脚下点A出发沿斜坡AB到达点B，再从点B沿斜坡BC到达山巅点C，路线如图所示． 斜坡AB的长为1 000米，斜坡BC的长为400米，在C点测得点B的俯角为30°．已知点A的海拔高度为121米，点C的海拔高度为921米．
（1）求B点的海拔高度；
（2）求斜坡AB的坡度（即∠A的正切值）．

Answer 1

分析 （1）过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足，根据在C点测得B点的俯角为30°，可得∠CBD=30°，继而可求得CD的长度，求出B点的高度；
（2）根据（1）中求得B点的高度，AB=1000米，利用勾股定理求出AE的长度，易求得AB的坡度．

解答 解：如图，过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足，
∵在C点测得B点的俯角为30°，
∴∠CBD=30°，
又∵BC=400米，
∴CD=400×sin30°=400×$\frac{1}{2}$=200（米）．
∴B点的海拔为921-200=721（米）．

（2）∵BE=DF=721-121=600米，
又∵AB=1000米，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{100{0}^{2}-60{0}^{2}}$=800米，
∴AB的坡度i_AB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{600}{800}$=$\frac{3}{4}$．
故斜坡AB的坡度为3：4．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，要求同学们熟练掌握坡度的定义．