Question

7．如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知了A、B两点的坐标即可得出OA、OB的长，在直角三角形ACB中由于OC⊥AB，因此可用射影定理求出OC的长，即可得出C点的坐标．然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）本题的关键是得出D点的坐标，CD平分∠BCE，如果连接O′D，那么根据圆周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐标为（4，-5）．根据B、D两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）本题要分两种情况进行讨论：
①过D作DP∥BC，交D点右侧的抛物线于P，此时∠PDB=∠CBD，可先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后根据BC与DP平行，那么直线DP的斜率与直线BC的斜率相同，因此可根据D的坐标求出DP的解析式，然后联立直线DP的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标，然后将不合题意的舍去即可得出符合条件的P点．
②同①的思路类似，先作与∠CBD相等的角：在O′B上取一点N，使BN=BM．可通过证△NBD≌△MDB，得出∠NDB=∠CBD，然后同①的方法一样，先求直线DN的解析式，进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标．综上所述可求出符合条件的P点的值．

解答 解：（1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
又∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCA=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$．
又∵A（-1，0），B（9，0），
∴$\frac{1}{OC}$=$\frac{OC}{9}$，
解得OC=3（负值舍去）．
∴C（0，-3），
故设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-9），
∴-3=a（0+1）（0-9），解得a=$\frac{1}{3}$，
∴二次函数的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x+1）（x-9），
即y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-3．

（2）∵AB为O′的直径，且A（-1，0），B（9，0），
∴OO′=4，O′（4，0），
∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，
∴∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BCE=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
连接O′D交BC于点M，
则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=$\frac{1}{2}$AB=5．
∴O′D⊥x轴
∴D（4，-5）．
∴设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=0}\\{4k+b=-5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-9}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=x-9．
∵C（0，-3），
设直线BC的解析式为：y=ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{9a+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{a=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x-3．


（3）假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，
设射线DP交⊙O′于点Q，则 $\widehat{BQ}$=$\widehat{CD}$．
分两种情况（如图所示）：
①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）．
∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q₁重合，
因此，点Q₁（7，-4）符合 $\widehat{BQ}$=$\widehat{CD}$，
∵D（4，-5），Q₁（7，-4），
∴用待定系数法可求出直线DQ₁解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{19}{3}$．
解方程组 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{19}{3}}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x-3}\end{array}\right.$得 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{9-\sqrt{41}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{-29-\sqrt{41}}{6}}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{9+\sqrt{41}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{-29+\sqrt{41}}{6}}\end{array}\right.$，
∴点P₁坐标为（$\frac{9+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-29+\sqrt{41}}{6}$），坐标为（$\frac{9-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-29-\sqrt{41}}{6}$）不符合题意，舍去．
②∵Q₁（7，-4），
∴点Q₁关于x轴对称的点的坐标为Q₂（7，4）也符合 $\widehat{BQ}$=$\widehat{CD}$．
∵D（4，-5），Q₂（7，4）．
∴用待定系数法可求出直线DQ₂解析式为y=3x-17．
解方程组 $\left\{\begin{array}{l}{y=3x-17}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=-8}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=14}\\{{y}_{2}=25}\end{array}\right.$，
∴点P₂坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去．
∴符合条件的点P有两个：P₁（$\frac{9+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-29+\sqrt{41}}{6}$），P₂（14，25）．

点评 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似及全等、探究角相等的构成情况等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．