Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（1，0），点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在第二象限的抛物线上，连接PC、PO，线段PO交线段BC于点 E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若△PCE的面积为S1，△OCE的面积为S2，当＝时，求点P的坐标；

（3）已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BN，点H在x轴上，当∠HCB＝∠NBC时，

①求满足条件的所有点H的坐标；

②当点H在线段AB上时，点Q是线段BH外一点，QH＝1，连接BQ，将线段BQ绕着点Q顺时针旋转90°，得到线段QM，连接MH，直接写出线段MH的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3；(2)点P的坐标是(﹣2，3)或(﹣1，4)；(3)①点H的坐标是(﹣1，0)或(﹣9，0)；②2﹣≤MH≤2+．

【解析】

(1)先把点A(1，0)，点B(﹣3，0)代入抛物线y=ax2﹣2x+c中列方程组，解方程组可得a和c的值，从而得抛物线的表达式；

(2)先根据待定系数法求BC的解析式为：y=x+3，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得，证明△OEH∽△OPG，得，可设E(3m，3m+3)，则P(5m，﹣25m2﹣10m+3)，代入比例式可得方程，解出即可得结论；

(3)①由对称得：N(﹣2，3)，有两种情况：如图2，i)当BN∥CH1时，∠H1CB=∠NBC，根据平移的性质可得点H1的坐标；ii)当∠H2CB=∠NBC，设H2(n，0)，直线CH2与BN交于点M，确定BN和CH2的解析式，利用方程组的解可得M的坐标(，)，根据两点的距离公式利用BM=CM，列方程可得结论；

②如图3，当Q在x轴下方时，且MH⊥x轴时，MH最小，作辅助线，构建矩形MFGH是，证明△BGQ≌△QFM(AAS)，得GQ=GH=FM，可得△QHG是等腰直角三角形，由斜边为1可得QG=GH=，利用全等三角形的性质与线段和与差可得结论；同理如图4，当Q在x轴上方时，且MH⊥x轴时，MH最大，同理可得最大值MH的长，从而得结论．

(1)把点A(1，0)，点B(﹣3，0)代入抛物线y=ax2﹣2x+c中，

得：，

解得：，

∴抛物线的表达式为：y=﹣x2﹣2x+3；

(2)如图1，过P作PG⊥y轴于G，过E作EH⊥y轴于H，

当x=0时，y=3，

∴C(0，3)，

设BC的解析式为：y=kx+b，

则，解得，

∴BC的解析式为：y=x+3，

∵△PCE的面积为S1，△OCE的面积为S2，且，

∴，

∵EH∥PG，

∴△OEH∽△OPG，

∴，

∴设E(3m，3m+3)，则P(5m，﹣25m2﹣10m+3)，

∴，

∴25m2+15m+2=0，

(5m+2)(5m+1)=0，

m1=，m2=，

当m=时，5m=﹣2，则P(﹣2，3)，

当m=时，5m=﹣1，则P(﹣1，4)，

综上，点P的坐标是(﹣2，3)或(﹣1，4)；

(3)①由对称得：N(﹣2，3)，

∵∠HCB=∠NBC，

如图2，连接CN，有两种情况：

i)当BN∥CH1时，∠H1CB=∠NBC，

∵CN∥AB，

∴四边形CNBH1是平行四边形，

∴，

∴H1(﹣1，0)；

ii)当∠H2CB=∠NBC，

设H2(n，0)，直线CH2与BN交于点M，

∴BM=CM，

∵B(﹣3，0)，N(﹣2，3)，

∴同理可得BN的解析式为：y=3x+9，

设CH2的解析式为：y=k1x+b1，

则，解得：，

∴设CH2的解析式为：y=+3，

解方程组，得，

∴M(，)，

∵BM=CM，

∴，

解得：n=﹣9或﹣1(舍)，

∴H2(﹣9，0)，

综上，点H的坐标是(﹣1，0)或(﹣9，0)；

②如图3，当Q在x轴下方时，且MH⊥x轴时，MH最小，过Q作QG⊥x轴，过M作MF⊥QG于F，则四边形MFGH是矩形，

∴FM=GH，FG=MH，

∵∠BQM=∠F=90°，

∴∠BQG+∠GQM=∠FMQ+∠GQM=90°，

∴∠BQG=∠FMQ，

∵BQ=QM，∠BGQ=∠F=90°，

∴△BGQ≌△QFM(AAS)，

∴FM=GQ，BG=FQ，

∴GQ=FM=GH，

∵QH=1，

∴QG=GH=，

∴MH=FG=FQ﹣QG=BG﹣GH=2﹣﹣=2﹣；

如图4，当Q在x轴上方时，且MH⊥x轴时，MH最大，过Q作QG⊥x轴，作QF⊥MH于F，则四边形QFHG是矩形，

∴FQ=GH，GQ=FH，

同理得△BGQ≌△MFQ(AAS)，

∴QG=FQ=GH，BG=MF，

∵QH=1，

∴QG=GH=，

∴MH=FM+FH=BG+GH=2++=2+；

∴MH的取值范围是2﹣≤MH≤2+．