Question

【题目】在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，P是CD边上一点，连结PA，分别过点B，D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为点E，F，如图①

(1)求证：BE＝DF＋EF；

(2)若点P在DC的延长线上，如图②，上述结论还成立吗？如果成立请写出证明过程；如果不成立，请写出正确结论并加以证明.

(3)若点P在CD的延长线上，如图③，那么这三条线段的数量关系是 .(直接写出结果)

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）上述结论不成立，正确结论为：DF=EF＋BE；（3）EF=BE+DF.

【解析】

（1）由BE垂直于AP，DF垂直于AP，得到一对直角相等，再由四边形ABCD为正方形，得到AB=AD，且∠BAD为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ABE与三角形DFA全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=AF，AE=DF，根据AF-AE=EF，等量代换即可得证；
（2）在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF=EF＋BE，理由同（1）；
（3）在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：EF=BE+DF，理由同（1）．

（1）证明：∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90°，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∵

∴△BAE≌△ADF(AAS)，

∴BE=AF，AE=DF，

∵AF=EF＋AE，

∴BE=DF＋EF.

（2）上述结论不成立，正确结论为：DF=EF＋BE；

∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90，

∴∠ADF+∠DAF=90，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中,

∴△BAE≌△ADF(AAS)，

∴BE=AF，AE=DF，

∵AE =EF＋AF，

∴DF =EF＋BE.

（3）EF=BE+DF.

理由为：∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AE+AF=EF，
∴EF=BE+DF．