Question

12．我们经常运用数形结合的思想方法，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，乙解决一些数学问题．下面是通过不断分割一个面积为1的正方形，得到一系列图形，观察图形可得$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{2015}}$=1-$\frac{1}{{2}^{2015}}$．

Answer 1

分析 由题意可知：第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为$\frac{1}{2}$；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{2}}$；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分…，第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$，最后空白部分的面积是1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，由此规律得出答案即可．

解答 解：∵第1次分割，影部分的面积为$\frac{1}{2}$；
第2次分割，阴影部分的面积之和为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{2}}$；
…，
第n次分割，所有阴影部分的面积之和为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{2015}}$=1-$\frac{1}{{2}^{2015}}$．
故答案为：1-$\frac{1}{{2}^{2015}}$．

点评 此题考查了图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．