Question

2．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是2．

Answer 1

分析 设AC=x，BC=4-x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，CD′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．

解答 解：设AC=x，BC=4-x，
∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，CD′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-x），
∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，
∴∠DCE=90°，
∴DE²=CD²+CE²=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$（4-x）²=x²-4x+8=（x-2）²+4，
∵根据二次函数的最值，
∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：2．
故答案为：2．

点评 本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．