【题目】如图,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线经过点A、B,并与x轴交于另一点C,其顶点为P.
(1)求,
的值;
(2)抛物线的对称轴上有一点Q,使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形,求Q点的坐标;
(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M、N,使以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形,求此正方形的边长.
【答案】(1)a,k的值分别为1,﹣1;(2)(2,2);(3)
【解析】
试题分析:(1)先求出直线y=-3x+3与x轴交点A,与y轴交点B的坐标,再将A、B两点坐标代入y=a(x-2)2+k,得到关于a,k的二元一次方程组,解方程组即可求解;
(2)设Q点的坐标为(2,m),对称轴x=2交x轴于点F,过点B作BE垂直于直线x=2于点E.在Rt△AQF与Rt△BQE中,用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2,BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2,由AQ=BQ,得到方程1+m2=4+(3-m)2,解方程求出m=2,即可求得Q点的坐标;
(3)当点N在对称轴上时,由NC与AC不垂直,得出AC为正方形的对角线,根据抛物线的对称性及正方形的性质,得到M点与顶点P(2,-1)重合,N点为点P关于x轴的对称点,此时,MF=NF=AF=CF=1,且AC⊥MN,则四边形AMCN为正方形,在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长.
试题解析:(1)∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,
∴A(1,0),B(0,3).
又∵抛物线抛物线y=a(x﹣2)2+k经过点A(1,0),B(0,3),
∴, 解得
,
故a,k的值分别为1,﹣1;
(2)如图,设Q点的坐标为(2,m),对称轴x=2交x轴于点F,
过点B作BE垂直于直线x=2于点E.
在Rt△AQF中,AQ2=AF2+QF2=1+m2,
在Rt△BQE中,BQ2=BE2+EQ2=4+(3﹣m)2,
∵AQ=BQ,∴1+m2=4+(3﹣m)2,
∴m=2,
∴Q点的坐标为(2,2);
(3)当点N在对称轴上时,NC与AC不垂直,所以AC应为正方形的对角线.
又∵对称轴x=2是AC的垂直平分线,M为抛物线上的点.
∴M点与顶点P(2,﹣1)重合,N点为点P关于x轴的对称点,
其坐标为N(2,1).
此时,MF=NF=AF=CF=1,且AC⊥MN, ∴四边形AMCN为正方形.
在Rt△AFN中,AN==
,即正方形的边长为
.
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【题目】计算题
(1)一个多边形的内角和是外角和的2倍,它是几边形?
(2)如图所示,在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线把三角形的周长分为24 cm和30 cm的两部分,求三角形各边的长.
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【题目】函数y=﹣2x2先向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得函数解析式是( )
A. y=﹣2(x﹣1)2+2B. y=﹣2(x﹣1)2﹣2C. y=﹣2(x+1)2+2D. y=﹣2(x+1)2﹣2
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【题目】(1)如图所示,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度数;
(2)如果(1)中∠AOB=α,其他条件不变,求∠MON的度数;
(3)如果(1)中∠BOC=β(β为锐角),其他条件不变,求∠MON的度数;
(4)从(1)(2)(3)的结果中你能看出什么规律?
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【题目】中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作.根据规划,“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人,这个数用科学记数法表示为 ( )
A. B.
C.
D.
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【题目】(1)如图1,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.求证:△ABD≌△CAF;
(2)如图2,点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上,点E、F都在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,且∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF;
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,求△ACF与△BDE的面积之和.
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【题目】将△ABC向右平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度,
(1)在图上画出对应的三角形A1B1C1;
(2)写出点A1、B1、C1的坐标.
(3)求出△A1B1C1的面积.
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【题目】某商店欲购进甲、乙两种商品,已知甲的进价是乙的进价的一半,进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元.甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元,该商店决定用不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品共100件.
(1)求这两种商品的进价;
(2)该商店有几种进货方案?哪种进货方案可获得最大利润,最大利润是多少?
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【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1s后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
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