Question

【题目】定义：如果将△ABC与△DEF各分割成两个三角形，且△ABC所分的两个三角形与△DEF所分的两个三角形分别对应相似，那么称△ABC与△DEF互为“近似三角形”，将每条分割线称为“近似分割线”．

（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，∠A＝30°，∠D＝40°，请判断这两个三角形是否互为“近似三角形”？如果是，请直接在图1中画出一组分割线，并注明分割后所得两个小三角形锐角的度数；若不是，请说明理由．

（2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，请在括号内打“√”；若是假命题，请在括号内打“×”．

①任意两个直角三角形都是互为“近似三角形”　 　；

②两个“近似三角形”只有唯一的“近似分割线”　 　；

③如果两个三角形中有一个角相等，那么这两个三角形一定是互为“近似三角形”　 　．

（3）如图2，已知△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝15°，∠B＝45°，∠E＝60°，且BC＝EF＝，判断这两个三角形是否互为“近似三角形”？如果是，请在图2中画出不同位置的“近似分割线”，并直接分别写出“近似分割线”的和；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）这两个三角形是互为“近似三角形”，图形见解析；（2）√，×，×；（3）这两个三角形是互为“近似三角形”， “近似分割线”的和为6+4或．

【解析】

（1）根据互为“近似三角形”即可得出结论；
（2）根据互为“近似三角形”的意义，判断出是假命题，画图说明即可得出结论；
（3）如图5，先判断出△BCM≌△FEN（ASA），得出CM=FN，再构造出直角三角形，即可得出结论；
②如图6，同（1）的方法即可得出结论．

解：（1）这两个三角形是互为“近似三角形”，如图1所示，

（2）①任意两个直角三角形都是互为“近似三角形”，是真命题，如图2所示，

②两个“近似三角形”只有唯一的“近似分割线”，假命题，如图3所示，

在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝15°，∠B＝45°，∠E＝60°；

③如果两个三角形中有一个角相等，那么这两个三角形一定是互为“近似三角形”，是假命题，

如图4所示，一个顶角为20°的等腰三角形和底角为20°的等腰三角形；

，

故答案为：√，×，×；

（3）这两个三角形是互为“近似三角形”，

①如图5，

在△BCM和△FEN中，，

∴△BCM≌△FEN（ASA），

∴CM＝EN，FN=BM，

过点M作MH⊥BC于H，

在Rt△MHC中，设CH＝x，则MH＝x，CM＝2x，

在Rt△BHM中，BH＝MH＝x，

∵BC＝x+x＝，

∴x＝，

∴CM＝2，FN=BM=，

∴“近似分割线”的和为CM+FN＝；

②同①的方法得，△CBM≌FEN（ASA），

∴BM＝EN，

过点C作CH⊥BM于H，

在Rt△BHC中，BH＝CH＝＝1+，

在Rt△CHM中，CM＝2CH＝2+2，MH＝CH＝3+，

∴NE＝BM＝4+2，

∴“近似分割线”的和为CM+EN＝6+4，

即“近似分割线”的和为6+4或．