Question

14．a是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为a的差倒数．如：2的差倒数是$\frac{1}{1-2}$=-1，-1的差倒数是$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$．已知a₁=3，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，依此类推，则a₂₀₀₉=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2009除以3，根据余数的情况确定出与a₂₀₀₉相同的数即可得解．

解答 解：∵a₁=3，
∴a₂=$\frac{1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，
a₃=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{2}{3}$，
a₄=$\frac{1}{1-\frac{2}{3}}$=3，
…
数字3、-$\frac{1}{2}$、$\frac{2}{3}$依次不断循环出现，
2009÷3=669…2．
∴a₂₀₀₉与a₂相同，为-$\frac{1}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数字变化规律，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．