Question

6．已知，建立如图所示的直角坐标系，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识：
（1）求出△ABC的面积；
（2）判断△ABC是什么形状？并说明理由；
（3）求直线AC的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）用长方形的面积减去三个小三角形的面积即可求出△ABC的面积．
（2）根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
（3）设直线AC的函数表达式为y=kx+b，把A（0，3），C（8，4）代入得出方程组，解方程组即可．

解答 解：（1）△ABC的面积=4×8-1×8÷2-2×3÷2-6×4÷2=13．
故△ABC的面积为13；
（2）△ABC是直角三角形；理由如下：
∵正方形小方格边长为1
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{65}$，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，BC=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∵在△ABC中，AB²+BC²=13+52=65，AC²=65，
∴AB²+BC²=AC²，
∴△ABC是直角三角形．
（3）设直线AC的函数表达式为y=kx+b，
把A（0，3），C（8，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{8k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{8}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的函数表达式为y=$\frac{1}{8}$x+3．

点评 本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理，用待定系数法求直线的解析式；熟练掌握勾股定理、勾股定理的逆定理以及待定系数法是解决问题的关键．