Question

11．综合与探究：
如图，A、B两点分别位于原点左右两侧的x轴上，点P（2，m）在第一象限内，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6．
（1）求△COP的面积；
（2）求点A的坐标及m的值；
（3）若△AOP与△BOP的面积相等，求直线BD的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）已知P的横坐标，即可知道△OCP的边OC上的高长，利用三角形的面积公式即可求解．
（2）求得△AOC的面积，即可求得A的坐标，利用待定系数法即可求得AP的解析式，把x=2代入解析式即可求得m的值．
（3）根据S_△AOP=S_△BOP，可以得到OB=OA，则A的坐标可以求得B的坐标，根据B、P坐标利用待定系数法即可求得BD的解析式．

解答 解：（1）作PE⊥y轴于E，
∵P的横坐标是2，则PE=2，
∴S_△COP=$\frac{1}{2}$OC•PE=$\frac{1}{2}$×2×2=2．

（2）∴S_△AOC=S_△AOP-S_△COP=6-2=4，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•OC=4，即$\frac{1}{2}$×OA×2=4，
∴OA=4，
∴A的坐标是（-4，0）．
设直线AP的解析式是y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
则直线的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+2，
当x=2时，y=3，即m=3；

（3）∵S_△AOP=S_△BOP，
∴OB=OA=4，则B的坐标是（4，0），
设直线BD的解析式是y=mx+n，则
$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{2m+n=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{2}}\\{n=6}\end{array}\right.$，
则BD的解析式是：y=-$\frac{3}{2}$x+6．

点评 本题考查了用待定系数法求一次函数的方法、三角形的面积、中线的性质等知识，正确理解点与函数的关系是解题关键．