Question

16．工人师傅用8米长的铝合金材料制作一个如图所示的矩形窗框，图中的①、②、③区域都是矩形，且BE=2AE，M，N分别是AD、EF的中点．（说明：图中黑线部分均需要使用铝合金材料制作，铝合金材料宽度忽略不计）．
（1）当矩形窗框ABCD的透光面积是2.25平方米时，求AE的长度．
（2）当AE为多长时，矩形窗框ABCD的透光面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）设AE=x米，根据已知条件表示出BC和AB的长，根据AB×BC=矩形面积2.25列出方程，解方程可得；
（2）先由长×宽=矩形面积得到函数关系式，根据公式可得函数最大值．

解答 解：（1）∵①、②、③号区域都是矩形，且BE=2AE，设AE=x米，
∴AE=MN=DF=x米，BE=CF=2x米，
∴BC=$\frac{8-7x}{3}$，
∴$\frac{8-7x}{3}$•3x=2.25，解得：x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{9}{14}$，
∴AE的长度是$\frac{1}{2}$米或$\frac{9}{14}$米；
（2）设矩形ABCD的面积是y平方米，
则y=3x•$\frac{8-7x}{3}$=-7x²+8x，
当x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{4}{7}$时，y_最大=$\frac{4}{7}$×4=$\frac{16}{7}$，
答：当AE为$\frac{4}{7}$时，矩形窗框ABCD的透光面积最大，最大面积是$\frac{16}{7}$．

点评 本题主要考查二次函数的实际应用，表示出所需长度是解题基础，列出方程和函数关系式是关键．