Question

2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点E与点B在AC的同侧，且AE⊥AC．
（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P．设AE=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）是否存在点E，使△PAE与△ABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点B作BD⊥AE，垂足为D．若以点E为圆心，ED为半径的圆记为⊙E，是否存在这样的⊙E，使得点C与⊙E上各点的距离的最小值为8？若存在，求出⊙E的半径；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AE⊥AC，∠ACB=90°，可得AE∥BC，然后由平行线分线段成比例定理，求得y关于x的函数解析式；
（2）由题意易得要使△PAE与△ABC相似，只有∠EPA=90°，即CE⊥AB，然后由△ABC∽△EAC，求得答案；
（3）易得点C必在⊙E外部，此时点C到⊙E上点的距离的最小值为CE-DE．然后分别从当点E在线段AD上时与当点E在线段AD延长线上时，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵AE⊥AC，∠ACB=90°，
∴AE∥BC，
∴AE：BC=AP：BP，
∵BC=6，AC=8，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=10，
∵AE=x，AP=y，
∴$\frac{x}{6}=\frac{y}{10-y}$，
∴y=$\frac{10x}{x+6}$（x＞0）；

（2）∵∠ACB=90°，而∠PAE与∠PEA都是锐角，
∴要使△PAE与△ABC相似，只有∠EPA=90°，即CE⊥AB，
此时△ABC∽△EAC，则$\frac{AE}{8}=\frac{8}{6}$，
∴AE=$\frac{32}{3}$．
故存在点E，使△ABC∽△EAP，此时AE=$\frac{32}{3}$；

（3）∵点C必在⊙E外部，
∴此时点C到⊙E上点的距离的最小值为CE-DE．  
设AE=x．
①当点E在线段AD上时，ED=6-x，EC=6-x+8=14-x，
∴x²+8²=（14-x）²，
解得：x=$\frac{33}{7}$，
即⊙E的半径为$\frac{9}{7}$．
②当点E在线段AD延长线上时，ED=x-6，EC=x-6+8=x+2，
∴x²+8²=（x+2）²，
解得：x=15，
即⊙E的半径为9．
∴⊙E的半径为9或$\frac{9}{7}$．

点评 此题属于圆的综合题．考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．